Um elétron está preso em um poço de potencial de profundidade infinita de 0,300 nm de comprimento. (a) Se o elétron estiver em seu estado fundamental, qual será a probabilidade de o encontrarmos dentro de uma faixa de 0,100 nm da parede esquerda? (b) Identifique a probabilidade clássica de encontrarmos o elétron nesse intervalo e compare o resultado com a resposta da parte (a). (c) Repita as partes (a) e (b) supondo que a partícula esteja no 99 o estado de energia.
20. Uma partícula quântica está no estado n=1 de um poço quadrado de profundidade infinita com paredes a x=0 e x=L. Considere ell como um valor arbitrário de x entre x=0 e x=L. (a) Determine uma expressão para a probabilidade, como uma função de ell, de que a partícula seja encontrada entre x=0 e x=ell. (b) Esboce a probabilidade como uma função da variável ell / L. Escolha valores de ell / L variando de 0 a 1,00 em passos de 0,100 . (c) Explique por que a função de probabilidade deve ter valores particulares em ell / L=0 e ell / L=1. (d) Determine o valor de ell para o qual a probabilidade de encontrarmos a partícula entre x=0 e x=ell é o dobro da de encontrarmos a partícula entre x=ell e x=L. Sugestão: Resolva a equação transcendental para ell / L numericamente.

Passo 1

No primeiro problema temos um elétron confinado num poço infinito de largura L=0,300 nm. No estado n, a função de onda é
psin(x)=raiz2Lsin!l(npi xLr),
e a probabilidade de achá-lo em [0,x0] é
Pn(0,x0)=integral0^x0|psin(x)|^2,dx
Vamos usar isso para (a) n=1, x0=0,100 nm; (b) comparação com o valor clássico; (c) repetir para n=99.

Passo 2

Para qualquer n,
Pn(0,x0)=2Lintegral0^x0sin^2!l(npi xLr)dx
Como integralsin^2(kx),dx=x2-sin(2kx)4k, temos
Pn(0,x0) =2Ll[x02-sinl(2npi x0/Lr)4,(npi/L)r] =x0L-sin!l(2npi x0/Lr)2npi

Passo 3

(a) Para n=1 e x0/L=0,100/0,300=1/3,
2pix0L=2pi3,sinl(2pi3r)=raiz32
Logo
P1(0,0,100) =13-raiz3/22pi approx0,3333-0,1378=0,1955

Passo 4

(b) Classicamente a partícula tem distribuição uniforme, então
Prm cl=x0L=0,3333
Comparação: P1=0,1955 é menor que Prm cl=0,3333.

Passo 5

(c) Para n=99, 2npi x0/L=2picdot99/3=66pi e sin(66pi)=0. Assim
P99(0,0,100) =13-02cdot99pi =13approx0,3333,
igual ao valor clássico.

Passo 6

No segundo problema temos um poço infinito em 0<= x<= L, estado n=1, e queremos a probabilidade de achar a partícula em [0,ell]. Em seguida faremos o esboço, discutiremos os valores em ell/L=0 e 1, e acharemos ell tal que P(0,ell)=2,P(ell,L).

Passo 7

A função de onda de n=1 é psi1(x)=raiz2/L,sin(pi x/L). A probabilidade até ell é
P(0,ell) =2Lintegral0^ellsin^2!l(pi xLr)dx =ellL-sinl(2piell/Lr)2pi

Passo 8

Definindo r=ell/L, fica
P(r)=r-sin(2pi r)2pi,
para 0<= r<=1.

Passo 9

Para alguns valores de r:
r=0,0Rightarrow P=0,
r=0,1Rightarrow0,0064,
r=0,2Rightarrow0,0486,
r=0,3Rightarrow0,1486,
r=0,4Rightarrow0,3064,
r=0,5Rightarrow0,5000,
r=0,6Rightarrow0,6936,
r=0,7Rightarrow0,8514,
r=0,8Rightarrow0,9514,
r=0,9Rightarrow0,9936,
r=1,0Rightarrow1,0000.
O esboço de P versus r sobe de 0 a 1 com inflexão em r=0,5.

Passo 10

Em r=0 a integral de 0 até 0 é zero, daí P(0)=0. Em r=1 é toda a região, logo P(1)=1.

Passo 11

Queremos P(r)=2l[1-P(r)r]Rightarrow3P(r)=2Rightarrow P(r)=2/3. Então
r-sin(2pi r)2pi=23
Resolvendo numericamente obtém-se rapprox0,586, ou seja ellapprox0,586,L.

Resposta

(a) P(0,ell)=ellL-sin(2piell/L)2pi
(b) Valores em r=ell/L de 0 a 1 dados acima.
(c) Em r=0, P=0; em r=1, P=1.
(d) ellapprox0,586,L.

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