Considere um planeta esférico, com densidade uniforme de massa , destituído de atmosfera. Mostre que o período de um satélite em órbita circular muito baixa (órbita rasante à superfície do planeta) não depende do raio do planeta, mas somente da sua densidade de massa, e expresse o valor desse período.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um planeta redondo, com a densidade de massa uniforme , sem nenhuma atmosfera. A missão aqui é descobrir o período de um satélite que está orbitando bem pertinho da superfície desse planeta, numa órbita circular baixinha mesmo. E o legal é que vamos mostrar que esse período não depende do tamanho do planeta, ou seja, do seu raio , mas sim só da densidade de massa . Pra resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de gravitação e movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total do planeta. Sabemos que a massa de uma esfera com densidade uniforme é dada por:
Aqui, é o raio do planeta e é a densidade de massa.

Passo 3

Agora, vamos determinar a aceleração gravitacional na superfície do planeta. A fórmula da gravidade é:
Substituindo da etapa anterior, temos:
Então, a gravidade na superfície depende de e .

Passo 4

Em seguida, vamos achar a velocidade orbital do satélite. Para uma órbita circular, a velocidade é dada por:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 5

Agora, vamos calcular o período da órbita, que é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa. A fórmula do período é:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão de . Observe que está dentro da raiz quadrada no denominador:
Perceba que o saiu da expressão porque estava com dentro da raiz, e multiplicando com fora, acabou sendo cancelado.

Passo 7

Pronto! A expressão final mostra que o período depende somente da densidade de massa e das constantes e :
Isso confirma que o período de um satélite em órbita rasante não depende do raio do planeta, mas apenas da sua densidade de massa.

Resposta

O período do satélite é dado por:

Exercícios de Livros Relacionados