Considere um planeta esférico, com densidade uniforme de massa
, destituído de atmosfera. Mostre que o período de um satélite em órbita circular muito baixa (órbita rasante à superfície do planeta) não depende do raio do planeta, mas somente da sua densidade de massa, e expresse o valor desse período.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um planeta redondo, com a densidade de massa uniforme
, sem nenhuma atmosfera. A missão aqui é descobrir o período de um satélite que está orbitando bem pertinho da superfície desse planeta, numa órbita circular baixinha mesmo. E o legal é que vamos mostrar que esse período não depende do tamanho do planeta, ou seja, do seu raio
, mas sim só da densidade de massa
. Pra resolver isso, vamos usar algumas fórmulas de gravitação e movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total do planeta. Sabemos que a massa
de uma esfera com densidade uniforme é dada por:
Aqui,
é o raio do planeta e
é a densidade de massa.
Passo 3
Agora, vamos determinar a aceleração gravitacional na superfície do planeta. A fórmula da gravidade é:
Substituindo
da etapa anterior, temos:
Então, a gravidade na superfície depende de
e
.
Passo 4
Em seguida, vamos achar a velocidade orbital
do satélite. Para uma órbita circular, a velocidade é dada por:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 5
Agora, vamos calcular o período
da órbita, que é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa. A fórmula do período é:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão de
. Observe que
está dentro da raiz quadrada no denominador:
Perceba que o
saiu da expressão porque estava com
dentro da raiz, e multiplicando com
fora, acabou sendo cancelado.
Passo 7
Pronto! A expressão final mostra que o período
depende somente da densidade de massa
e das constantes
e
:
Isso confirma que o período de um satélite em órbita rasante não depende do raio do planeta, mas apenas da sua densidade de massa.
Resposta
O período do satélite é dado por: