Construa a função de onda espacial ( ) para o hidrogênio no estado e . Calcule os valores esperados de nesse estado. Para qual intervalo de (positivo e negativo) o resultado é finito?

Passo 1

Então, a gente tem que construir a função de onda espacial (ψ) do átomo de hidrogênio para o estado com números quânticos , e . Depois, vamos calcular o valor esperado de nesse estado e descobrir para quais valores de (tanto positivos quanto negativos) o resultado é finito. Para isso, vamos usar a mecânica quântica, especificamente as funções de onda do hidrogênio que envolvem os polinômios de Laguerre e as funções esféricas harmônicas.

Passo 2

Primeiro, a função de onda do átomo de hidrogênio é dada por:
Onde é a parte radial e são as harmônicas esféricas.

Passo 3

Vamos começar encontrando a função radial . Para o hidrogênio, a função radial é:
Onde e são os polinômios de Laguerre.

Passo 4

Para e , temos:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, vamos à parte angular . As harmônicas esféricas para e são:

Passo 6

Com a parte radial e angular encontradas, montamos a função de onda completa:

Passo 7

Agora, para calcular o valor esperado de , usamos:
Simplificamos as integrais angulares sabendo que a integral das harmônicas esféricas normalizadas é 1.

Passo 8

Focamos na integral radial:
Substituindo e resolvendo a integral, obtemos o valor esperado.

Passo 9

Quanto ao intervalo de , precisamos assegurar que seja finita, ou seja, que a função de onda não diverja. Analisando a função radial, vemos que para dentro de certos limites, os termos exponenciais garantem que a função decai adequadamente. Portanto, o intervalo de onde o resultado é finito está entre e .

Resposta

A função de onda espacial para o hidrogênio no estado , e foi construída como , e o valor esperado de nesse estado foi calculado através da integral radial. O resultado é finito para todos os valores de , ou seja, para no intervalo .

Exercícios de Livros Relacionados