Construa a função de onda espacial (
) para o hidrogênio no estado
e
. Calcule os valores esperados de
nesse estado. Para qual intervalo de
(positivo e negativo) o resultado é finito?
Passo 1
Então, a gente tem que construir a função de onda espacial (ψ) do átomo de hidrogênio para o estado com números quânticos
,
e
. Depois, vamos calcular o valor esperado de
nesse estado e descobrir para quais valores de
(tanto positivos quanto negativos) o resultado é finito. Para isso, vamos usar a mecânica quântica, especificamente as funções de onda do hidrogênio que envolvem os polinômios de Laguerre e as funções esféricas harmônicas.
Passo 2
Primeiro, a função de onda do átomo de hidrogênio é dada por:
Onde
é a parte radial e
são as harmônicas esféricas.
Passo 3
Vamos começar encontrando a função radial
. Para o hidrogênio, a função radial é:
Onde
e
são os polinômios de Laguerre.
Passo 4
Para
e
, temos:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Agora, vamos à parte angular
. As harmônicas esféricas para
e
são:
Passo 6
Com a parte radial e angular encontradas, montamos a função de onda completa:
Passo 7
Agora, para calcular o valor esperado de
, usamos:
Simplificamos as integrais angulares sabendo que a integral das harmônicas esféricas normalizadas é 1.
Passo 8
Focamos na integral radial:
Substituindo
e resolvendo a integral, obtemos o valor esperado.
Passo 9
Quanto ao intervalo de
, precisamos assegurar que
seja finita, ou seja, que a função de onda não diverja. Analisando a função radial, vemos que para
dentro de certos limites, os termos exponenciais garantem que a função decai adequadamente. Portanto, o intervalo de
onde o resultado é finito está entre
e
.
Resposta
A função de onda espacial para o hidrogênio no estado
,
e
foi construída como
, e o valor esperado de
nesse estado foi calculado através da integral radial. O resultado é finito para todos os valores de
, ou seja, para
no intervalo
.