Construa a função de onda espacial ( ) para o hidrogênio no estado e . Verifique se essa função de onda está adequadamente normalizada executando as integrais adequadas sobre e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente construir a função de onda espacial (ψ) do hidrogênio no estado onde os números quânticos são , e . Isso envolve entender as funções radiais e angulares que descrevem o elétron nesse estado. Vamos precisar usar as funções de Laguerre associadas para a parte radial e os harmônicos esféricos para a parte angular. Também vamos verificar se essa função de onda está bem normalizada, ou seja, se a integral do módulo ao quadrado dela sobre todo o espaço dá 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda do átomo de hidrogênio pode ser escrita como o produto de uma parte radial e uma parte angular . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte radial . Para o hidrogênio, a função radial geral é dada por:
onde e são os polinômios de Laguerre associados.
Para e , temos:

Passo 4

Passando para a parte angular, os harmônicos esféricos são dados por:
Esses harmônicos têm que satisfazer as equações de momento angular e são funções próprias do operador momento angular.

Passo 5

Agora, juntando a parte radial e a parte angular, a função de onda completa fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos verificar a normalização. Precisamos calcular a integral tripla:
Calculando :
Agora, integrando cada parte:
  1. Integral sobre :
  1. Integral sobre :
  1. Integral sobre :
Multiplicando tudo:
Após simplificar, vemos que a integral resulta em 1, confirmando que a função está adequadamente normalizada.

Resposta

A função de onda espacial para o hidrogênio no estado , , está corretamente normalizada, já que a integral do seu módulo ao quadrado sobre todas as coordenadas , e resulta em 1.

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