Construa a função de onda espacial (
) para o hidrogênio no estado
e
. Verifique se essa função de onda está adequadamente normalizada executando as integrais adequadas sobre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente construir a função de onda espacial (ψ) do hidrogênio no estado onde os números quânticos são
,
e
. Isso envolve entender as funções radiais e angulares que descrevem o elétron nesse estado. Vamos precisar usar as funções de Laguerre associadas para a parte radial e os harmônicos esféricos para a parte angular. Também vamos verificar se essa função de onda está bem normalizada, ou seja, se a integral do módulo ao quadrado dela sobre todo o espaço dá 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda do átomo de hidrogênio pode ser escrita como o produto de uma parte radial
e uma parte angular
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte radial
. Para o hidrogênio, a função radial geral é dada por:
onde
e
são os polinômios de Laguerre associados.
Para
e
, temos:
Passo 4
Passando para a parte angular, os harmônicos esféricos
são dados por:
Esses harmônicos têm que satisfazer as equações de momento angular e são funções próprias do operador momento angular.
Passo 5
Agora, juntando a parte radial e a parte angular, a função de onda completa fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos verificar a normalização. Precisamos calcular a integral tripla:
Calculando
:
Agora, integrando cada parte:
- Integral sobre
:
- Integral sobre
:
- Integral sobre
:
Multiplicando tudo:
Após simplificar, vemos que a integral resulta em 1, confirmando que a função está adequadamente normalizada.
Resposta
A função de onda espacial para o hidrogênio no estado
,
,
está corretamente normalizada, já que a integral do seu módulo ao quadrado sobre todas as coordenadas
,
e
resulta em 1.