O elétron em um átomo de hidrogênio ocupa o estado combinado de spin e posição
Se você medir a posição da partícula, qual será a densidade de probabilidade de encontrá-la em e ?

Passo 1

Então, temos um elétron no átomo de hidrogênio que está em um estado combinado de spin e posição, representado pela função de onda:
Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade de probabilidade de encontrar esse elétron em uma posição específica, descrita pelas coordenadas esféricas e . Para isso, vamos utilizar conceitos de mecânica quântica relacionados à funções de onda e probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de probabilidade de encontrar uma partícula em uma determinada posição é dada pelo módulo ao quadrado da função de onda. Isso significa que precisamos calcular , onde é a função de onda do elétron.

Passo 3

No nosso caso, a função de onda está combinada com os estados de spin e . Quando medimos a posição da partícula, o estado de spin não influencia diretamente a posição, então podemos considerar cada componente de spin separadamente ao calcular a probabilidade.

Passo 4

Vamos expandir a fun��ão de onda:
Para encontrar , precisamos multiplicar a função de onda pela sua conjugada complexa. Como os estados de spin e são ortogonais, o termo cruzado desaparece, ficando apenas os termos individuais.

Passo 5

Calculando :
Aqui, expandimos o quadrado do módulo, e como mencionado, os termos de spin não se misturam.

Passo 6

Simplificando os termos:
Estamos separando as partes radiais e angulares para facilitar o cálculo.

Passo 7

Lembrando que representa a densidade angular para os harmônicos esféricos. Portanto, a densidade de probabilidade total combina a parte radial com a parte angular ponderada pelas probabilidades dos estados de spin.

Resposta

A densidade de probabilidade de encontrar o elétron na posição é dada por:
Essa expressão combina a parte radial da função de onda com as contribuições angulares dos estados de spin, proporcionando a probabilidade desejada.

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