15.7 Demonstre explicitamente que a relação 15.53,
onde
é o versor da direção
e
é o tensor de Levi-Civita 15.51.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
reproduz o resultado usual
Vamos usar que
vale zero se algum par de índices coincide, vale
para permutações pares de
e
para permutações ímpares.
Passo 2
Separe a soma por cada componente
:
Como
sempre que
, só restam os pares
distintos.
Passo 3
Calcule cada componente interna:
para
:
para
:
para
:
Passo 4
Substituindo de volta na soma por
, obtemos
que é exatamente a forma padrão do produto vetorial em coordenadas.