15.7 Demonstre explicitamente que a relação 15.53,
\vec{a} \times \vec{b}=\sum_{i, j, k} \varepsilon_{i j k} a_{i} b_{j} \hat{\mathbf{e}}_{k}
onde \hat{\mathbf{e}}_{k} é o versor da direção k e \varepsilon_{i j k} é o tensor de Levi-Civita 15.51.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\vec{a}\times\vec{b} =\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}\,a_i\,b_j\,\hat{e}_k
reproduz o resultado usual
(a_2b_3 - a_3b_2)\,\hat{e}_1 +(a_3b_1 - a_1b_3)\,\hat{e}_2 +(a_1b_2 - a_2b_1)\,\hat{e}_3.
Vamos usar que \varepsilon_{ijk} vale zero se algum par de índices coincide, vale +1 para permutações pares de (1,2,3) e -1 para permutações ímpares.

Passo 2

Separe a soma por cada componente \hat{e}_k:
\vec{a}\times\vec{b} =\sum_{k=1}^{3}\Bigl(\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\,a_i\,b_j\Bigr)\hat{e}_k.
Como \varepsilon_{ijk}=0 sempre que i=j, só restam os pares (i,j) distintos.

Passo 3

Calcule cada componente interna:
para k=1:
\sum_{i,j}\varepsilon_{ij1}a_i b_j =\varepsilon_{231}a_2b_3+\varepsilon_{321}a_3b_2 =+1\cdot a_2b_3+(-1)\cdot a_3b_2 =a_2b_3 - a_3b_2.
para k=2:
\sum_{i,j}\varepsilon_{ij2}a_i b_j =\varepsilon_{312}a_3b_1+\varepsilon_{132}a_1b_3 =+1\cdot a_3b_1+(-1)\cdot a_1b_3 =a_3b_1 - a_1b_3.
para k=3:
\sum_{i,j}\varepsilon_{ij3}a_i b_j =\varepsilon_{123}a_1b_2+\varepsilon_{213}a_2b_1 =+1\cdot a_1b_2+(-1)\cdot a_2b_1 =a_1b_2 - a_2b_1.

Passo 4

Substituindo de volta na soma por k, obtemos
\vec{a}\times\vec{b} =(a_2b_3 - a_3b_2)\,\hat{e}_1 +(a_3b_1 - a_1b_3)\,\hat{e}_2 +(a_1b_2 - a_2b_1)\,\hat{e}_3,
que é exatamente a forma padrão do produto vetorial em coordenadas.

Resposta

\displaystyle \vec{a}\times\vec{b} =\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}\,a_i\,b_j\,\hat{e}_k =(a_2b_3 - a_3b_2)\,\hat{e}_1 +(a_3b_1 - a_1b_3)\,\hat{e}_2 +(a_1b_2 - a_2b_1)\,\hat{e}_3.

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