Demonstre (por meio da modificação apropriada do truque de Fourier) que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que a expressão para é igual a
Estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes de Fourier são calculados e aplicar uma modificação nesse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são os coeficientes de Fourier. Em uma série de Fourier, qualquer função periódica pode ser escrita como uma soma de funções trigonométricas. Os coeficientes determinam a contribuição de cada seno ou cosseno nessa soma.
A fórmula geral para os coeficientes de Fourier para funções de período é:
Aqui, é a função complexa que combina senos e cossenos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o “truque de Fourier” mencionado no enunciado. Esse “truque” basicamente envolve multiplicar a função por uma função complexa exponencial e integrar sobre um intervalo que cubra um período completo da função.
No nosso caso, o intervalo é de a , o que corresponde a um período completo se a função for periódica com período .

Passo 4

Realizando a integral, temos:
Esse é exatamente o que precisamos demonstrar. A constante serve para normalizar a integral, garantindo que os coeficientes capturem corretamente a contribuição de cada componente de frequência na série de Fourier.

Resposta

Portanto, demonstramos que

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