Demonstre (por meio da modificação apropriada do truque de Fourier) que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que a expressão para
é igual a
Estamos trabalhando com séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes de Fourier são calculados e aplicar uma modificação nesse processo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são os coeficientes de Fourier. Em uma série de Fourier, qualquer função periódica
pode ser escrita como uma soma de funções trigonométricas. Os coeficientes
determinam a contribuição de cada seno ou cosseno nessa soma.
A fórmula geral para os coeficientes de Fourier para funções de período
é:
Aqui,
é a função complexa que combina senos e cossenos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o “truque de Fourier” mencionado no enunciado. Esse “truque” basicamente envolve multiplicar a função
por uma função complexa exponencial e integrar sobre um intervalo que cubra um período completo da função.
No nosso caso, o intervalo é de
a
, o que corresponde a um período completo se a função for periódica com período
.
Passo 4
Realizando a integral, temos:
Esse é exatamente o que precisamos demonstrar. A constante
serve para normalizar a integral, garantindo que os coeficientes
capturem corretamente a contribuição de cada componente de frequência na série de Fourier.
Resposta
Portanto, demonstramos que