Uma partícula no potencial do oscilador harmônico está no estado
Monte e .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos uma partícula num potencial de oscilador harmônico, e a sua função de onda no tempo inicial (quando ) é dada por:
Aqui, e são os estados estacionários básicos do oscilador harmônico. Para resolver o problema, precisamos construir a função de onda em qualquer instante de tempo e também encontrar a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição no tempo , ou seja, .
Passo 2
Vamos começar determinando a constante de normalização . Para isso, sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Substituindo :
Expandindo o quadrado:
Sabemos que os estados e são ortonormais, ou seja:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora que sabemos que , podemos escrever a função de onda no tempo . Em mecânica quântica, a evolução temporal de cada estado estacionário é dada por:
onde é a energia do estado e é a constante de Planck reduzida. Para o oscilador harmônico, as energias são:
onde é a frequência angular.
Passo 4
Aplicando isso aos estados e , temos:
Substituindo e :
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Agora, vamos encontrar , que representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula na posição no tempo . Calculamos o módulo ao quadrado da função de onda:
Expandindo o módulo ao quadrado:
onde representa a parte real.
Resposta
A função de onda no tempo é:
e a densidade de probabilidade é:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 2.3 - Ex. Problema 2.13b