Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que e são constantes reais positivas.
(b) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de onda inicial de uma partícula livre, que é . O conteúdo principal aqui é a transformada de Fourier, que usamos para passar da descrição no espaço (x) para o espaço de momento (k). Para calcular , vamos precisar aplicar a transformada de Fourier na função de onda dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela nos permite converter uma função do espaço para o espaço de momento. A fórmula geral da transformada de Fourier para uma função é:
Aqui, é o número de onda relacionado ao momento da partícula.

Passo 3

Substituímos a função de onda fornecida na fórmula da transformada:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 4

Podemos combinar os expoentes na função de dentro da integral:
Para facilitar a integração, vamos dividir a integral em duas partes: de a 0 e de 0 a .

Passo 5

Dividindo a integral:
Simplificamos mais combinando os expoentes:

Passo 6

Agora, resolvemos cada uma das integrais separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 7

Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão de :
Para simplificar, juntamos os termos:

Resposta

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