Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que
e
são constantes reais positivas.
(b) Calcule
.
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de onda inicial de uma partícula livre, que é
. O conteúdo principal aqui é a transformada de Fourier, que usamos para passar da descrição no espaço (x) para o espaço de momento (k). Para calcular
, vamos precisar aplicar a transformada de Fourier na função de onda dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela nos permite converter uma função do espaço para o espaço de momento. A fórmula geral da transformada de Fourier para uma função
é:
Aqui,
é o número de onda relacionado ao momento da partícula.
Passo 3
Substituímos a função de onda fornecida na fórmula da transformada:
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 4
Podemos combinar os expoentes na função de dentro da integral:
Para facilitar a integração, vamos dividir a integral em duas partes: de
a 0 e de 0 a
.
Passo 5
Dividindo a integral:
Simplificamos mais combinando os expoentes:
Passo 6
Agora, resolvemos cada uma das integrais separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 7
Substituímos os resultados das integrais de volta na expressão de
:
Para simplificar, juntamos os termos: