4.19 Derive o equivalente da equação de Clausius-Clapeyron (4.7.7) para a inclinação da coexistência potencial químico em função da temperatura. Use o fato de que as pressões P(\mu, T) em duas fases diferentes são iguais na curva de coexistência.

Passo 1

O enunciado pede para obter, ao longo da curva de coexistência de duas fases, a inclinação \dfrac{d\mu}{dT} do potencial químico em função da temperatura, partindo da igualdade de pressão
P^{(1)}\bigl(\mu,T\bigr)\;=\;P^{(2)}\bigl(\mu,T\bigr)\quad\text{na coexistência.}ê
Vamos usar que, para cada fase, o diferencial de P satisfaz a forma de Gibbs–Duhem
dP \;=\;n\,d\mu \;+\;s\,dT,
onde n é a densidade de partículas e s a densidade de entropia na fase considerada.

Passo 2

Escrevendo o diferencial de P numa mesma fase em termos de parciais em (\mu,T), temos
dP \;=\;\Bigl(\partial_T P\Bigr)_{\mu}\,dT \;+\;\Bigl(\partial_\mu P\Bigr)_{T}\,d\mu.
Pela forma de Gibbs–Duhem identificamos
\Bigl(\partial_T P\Bigr)_{\mu}=s, \qquad \Bigl(\partial_\mu P\Bigr)_{T}=n.

Passo 3

Como as duas fases coexistem, P^{(1)}=P^{(2)} e seus diferenciais devem ser iguais:
dP^{(1)} \;=\;dP^{(2)}.
Logo
n_1\,d\mu \;+\;s_1\,dT \;=\; n_2\,d\mu \;+\;s_2\,dT,
onde os subscritos 1 e 2 indicam fase 1 e fase 2.

Passo 4

Reagrupando termos em d\mu e dT, obtemos
(n_1 - n_2)\,d\mu \;+\;(s_1 - s_2)\,dT \;=\;0.
Portanto a inclinação da curva \mu(T) na coexistência satisfaz
\dfrac{d\mu}{dT} \;=\; -\, \dfrac{s_1 - s_2}{\,n_1 - n_2\,} \;=\; \dfrac{s_2 - s_1}{\,n_2 - n_1\,}.

Resposta

\boxed{ \frac{d\mu}{dT} \;=\; -\;\frac{\Delta s}{\Delta n} \quad\text{com}\; \Delta s=s_1-s_2, \;\Delta n=n_1-n_2. }

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