4.15 Supondo que o calor latente de sublimação do gelo L \mathrm{~s}=2500 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} seja independente da temperatura e o volume específico da fase sólida é insignificante em comparação com o volume específico da fase vapor, v vapor =k T / P \sigma(T), integre a equação de Clausius-Clapeyron (4.7.7) para obter a pressão de coexistência em função da temperatura. Compare seu resultado com o vapor experimental pressão do gelo de T=0 ao ponto triplo. A pressão do vapor de equilíbrio no ponto triplo é 612 Pa .

Passo 1

O enunciado trata da sublimação do gelo com calor latente
\displaystyle L_s = 2500\\ \mathrm{kJ/kg} (assumido constante)
e do volume específico do vapor, desprezando o sólido, dado por
v_{\text{vap}}=\frac{RT}{P}\,.
A equação de Clausius–Clapeyron é
\frac{dP}{dT}=\frac{L_s}{T\,(v_{\text{vap}}-v_s)}\approx\frac{L_s}{T\,v_{\text{vap}}}\,.
Queremos integrar essa equação e obter P(T), usando a condição
P(T_{\rm trip})=612\\ \mathrm{Pa} no ponto triplo.

Passo 2

Substituímos v_{\text{vap}}=RT/P em
\displaystyle \frac{dP}{dT}=\frac{L_s}{T\,v_{\text{vap}}}, obtendo
\frac{dP}{dT} =\frac{L_s}{T}\,\frac{P}{R\,T} =\frac{L_s}{R}\,\frac{P}{T^2}\,.

Passo 3

Separamos variáveis e integramos de T_{\rm trip} a T:
\frac{dP}{P} =\frac{L_s}{R}\,\frac{dT}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad \int_{P_{\rm trip}}^{P(T)}\frac{dP'}{P'} =\frac{L_s}{R}\int_{T_{\rm trip}}^{T}\frac{dT'}{T'^2}\,.

Passo 4

Calculando os integrals, vem
\ln\frac{P(T)}{P_{\rm trip}} =-\frac{L_s}{R}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{\rm trip}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad P(T) =P_{\rm trip}\, \exp\!\Bigl[\frac{L_s}{R}\Bigl(\frac{1}{T_{\rm trip}}-\frac{1}{T}\Bigr)\Bigr].

Passo 5

Convertendo L_s para J/mol com M_{\mathrm{H_2O}}=0{,}018,kg/mol:
L_{\rm m} = L_s \times M = 2500 \times 10^3\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}} \times 0{,}018\;\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{mol}} = 4{,}5 \times 10^4\;\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol}}.
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P(T) = 612\, \exp\!\Bigl[\frac{4{,}5 \times 10^4}{8{,}314} \Bigl(\frac{1}{273{,}16} - \frac{1}{T}\Bigr)\Bigr]\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Em T=273{,}15,K (zero grau Celsius)
\Delta = \frac{4{,}5 \times 10^4}{8{,}314} \Bigl(\frac{1}{273{,}16} - \frac{1}{273{,}15}\Bigr) \approx -4{,}7 \times 10^{-5},
portanto
P(273{,}15) \approx 612 \times e^{-4{,}7 \times 10^{-5}} \approx 611{,}97\\ \mathrm{Pa}.
Esse valor difere do experimental ( \approx 610,Pa) em menos de 0,3\ %.

Resposta

P(T)=612\\ \exp\!\Bigl[\frac{4{,}5\times10^4}{8{,}314} \Bigl(\frac{1}{273{,}16}-\frac{1}{T}\Bigr)\Bigr]\\ \mathrm{Pa},
com erro inferior a 0,3 % entre zero grau e o ponto triplo.

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