4.14 Supondo que o calor latente de vaporização da água L_{\mathrm{v}}=2260 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} seja independente de temperatura e o volume específico da fase líquida são insignificantes em comparação com a volume da fase de vapor, v vapor =k T / P \sigma(T), integra a equação de Clausius-Clapeyron (4.7.7) para obter a pressão de coexistência em função da temperatura. Compare seu resultado com o pressão de vapor experimental da água do ponto triplo a 200{ }^{\circ} \mathrm{C}. O vapor de equilíbrio a pressão a 373 K é 101 \mathrm{kPa}=1 \mathrm{~atm}.

Passo 1

O enunciado pede para integrar a equação de Clausius–Clapeyron, assumindo L_v constante e v_{\ell} desprezível, usando o fato de que
v_{\text{vapor}} = \frac{k\,T}{P\,\sigma(T)}
corresponde à lei dos gases ideais se definirmos a constante específica do vapor por
R_v = \frac{k}{\sigma(T)}\,.
Logo, vamos usar a forma diferencial
\frac{dP}{dT} = \frac{L_v}{T\,(v_g - v_\ell)} \approx \frac{L_v}{T\,v_g}
e a lei dos gases ideais v_g = \dfrac{R_v\,T}{P} para obter P(T).

Passo 2

Substituindo v_g = \dfrac{R_v\,T}{P} em
\frac{dP}{dT} \approx \frac{L_v}{T\,v_g}
obtém-se
\frac{dP}{dT} = \frac{L_v}{T}\,\frac{P}{R_v\,T} = \frac{L_v}{R_v}\,\frac{P}{T^2}.

Passo 3

Reescrevendo o diferencial, temos
\frac{dP}{P} = \frac{L_v}{R_v}\,\frac{dT}{T^2}.

Passo 4

Integramos de uma condição de referência (T_0,P_0) a (T,P):
\int_{P_0}^{P}\frac{dP'}{P'} = \frac{L_v}{R_v}\int_{T_0}^{T}\frac{dT'}{T'^2} \;\Longrightarrow\; \ln\!\frac{P}{P_0} = -\frac{L_v}{R_v}\Bigl(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\Bigr).

Passo 5

Exponenciando, chega-se à fórmula de Antoine simplificada:
P(T) = P_0 \exp\!\Bigl[\frac{L_v}{R_v}\bigl(\tfrac{1}{T_0}-\tfrac{1}{T}\bigr)\Bigr].

Passo 6

Agora usamos
L_v = 2{,}260\times10^3\;\mathrm{J/kg},\quad R_v = 461{,}5\;\mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad T_0 = 373\;\mathrm K,\quad P_0 = 101\times10^3\;\mathrm{Pa},
e calculamos em T = 200\;^\circ\mathrm C = 473\;\mathrm K. O expoente é
\frac{L_v}{R_v}\Bigl(\frac{1}{373}-\frac{1}{473}\Bigr) \approx 4897\;\bigl(0{,}00268 - 0{,}00211\bigr) \approx 2{,}77.

Passo 7

Portanto
P(473\;\mathrm K) = 101\times10^3\,\exp(2{,}77) \approx 101\times10^3 \times 15{,}98 \approx 1{,}62\times10^6\;\mathrm{Pa} =16{,}2\;\mathrm{bar}.

Passo 8

A pressão de vapor experimental da água a 200\;^\circ\mathrm C é cerca de 15{,}5\;\mathrm{bar}.
O resultado teórico ( 16{,}2\;\mathrm{bar}) difere em aproximadamente 4\% da medida experimental, mostrando que a aproximação é razoável para muitas aplicações.

Resposta

P(T) = P_0 \exp\!\Bigl[\frac{L_v}{R_v}\bigl(\tfrac{1}{T_0}-\tfrac{1}{T}\bigr)\Bigr],
que dá P(473\,\mathrm K)\approx1{,}62\times10^6\,\mathrm{Pa} contra 1{,}55\times10^6\,\mathrm{Pa} experimental.

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