Um disco sólido uniforme de massa
e raio
gira em torno de um eixo fixo perpendicular à sua face com frequência angular de
. Calcule o módulo do momento angular do disco quando o eixo de rotação (a) passa por seu centro de massa,
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco sólido e uniforme com massa
e raio
, que está girando em torno de um eixo fixo perpendicular à sua face com frequência angular
. Precisamos calcular o módulo do momento angular do disco quando o eixo de rotação passa pelo seu centro de massa.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre momento de inércia e como calcular o momento angular de um corpo rígido em rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o momento angular. Para um corpo rígido que gira com uma frequência angular constante, o momento angular
é dado por:
Aqui,
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação, e
é o vetor da frequência angular.
Como queremos apenas o módulo do momento angular, podemos escrever:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Precisamos determinar o momento de inércia
do disco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa. Para um disco sólido uniforme, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular à face e passando pelo centro de massa é dado pela fórmula:
Vamos aplicar essa fórmula com os valores fornecidos.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula do momento de inércia:
Vamos calcular isso passo a passo:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 5
Agora que temos o momento de inércia, podemos calcular o momento angular usando a fórmula
:
Multiplicando os valores:
Resposta
O módulo do momento angular do disco é
.