Um elétron de 100 Mev , para o qual \beta=0,999975, move-se ao longo do eixo de um tubo, no qual se faz um vácuo, e que tem um comprimento l^{\prime} de 3,00 \mathrm{~m}, quando é medido por um observador de laboratório S^{\prime}, em relação ao qual o tubo está em repouso. Um observador S, que se move com o elétron,
veria o tubo passando com uma velocidade v. Que comprimento mediria o observador S para êste tubo?

Passo 1

O enunciado trata de contração de comprimento na teoria da relatividade restrita. Temos um tubo de comprimento próprio (medido em seu repouso) l' = 3{,}00\\ \mathrm{m}, e um elétron que se move com velocidade v tal que \beta = v/c = 0{,}999975. Queremos achar o comprimento l que um observador S, que se move junto com o elétron (ou seja, vê o tubo passando a v), mediria para o tubo.

Passo 2

O fator de Lorentz \gamma é dado por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.
Substituindo \beta = 0{,}999975:
1 - \beta^2 = 1 - (0{,}999975)^2 \approx 5{,}00\times10^{-5},
\gamma = \frac{1}{\sqrt{5{,}00\times10^{-5}}} \approx 141{,}4.

Passo 3

Pela fórmula da contração de comprimentos, o comprimento medido em S é
l = \frac{l'}{\gamma}.
Logo,
l = \frac{3{,}00\\ \mathrm{m}}{141{,}4}\approx 0{,}0212\\ \mathrm{m}.

Resposta

O observador S mediria cerca de 0{,}0212\\ \mathrm{m} (ou 2,12\\ \mathrm{cm}).

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