Qual é o intervalo de tempo próprio entre a ocorrência de dois eventos: (a) se em algum sistema inercial os eventos estão separados de
e ocorrem com 5 seg de diferença? (b) Se . . .
e ocorrem com
de diferença? (c) Se …
e ocorrem com 1,5 seg. de diferença?
14. No arranjo usual dos sistemas
e
tendo uma velocidade relativa
ao longo de
, as origens coincidindo no instante
, encontraremos que, num instante posterior
, há somente um plano em
sôbre o qual os relógios concordam com os de
. (a) Mostre que êste plano é dado por
e se move com a velocidade
em
. (b) Mostre que esta velocidade é menor do que
. (c) Suponha que um observador
se mova com a velocidade
em relação a
. Isto significa que os relógios opostos a êle em
e
medirão cada um o mesmo intervalo de tempo impróprio para um evento em que um observador no sistema
possui o tempo próprio. Usando o resultado de (b) e a expressão para a dilatação de tempo, explique como isto é possível.
14. No arranjo usual dos sistemas
Passo 1
O exercício 13 trata de calcular o intervalo de tempo próprio
entre dois eventos dados num mesmo sistema inercial que os mede com separação espacial
e intervalo de tempo
. O conteúdo é o conceito de tempo próprio em relatividade restrita, dado pela relação
onde
é a velocidade da luz. Aplicaremos essa fórmula aos três casos fornecidos.
O exercício 14 trata do arranjo de dois sistemas inerciais
e
em movimento relativo de velocidade
ao longo do eixo
. Pede-se (a) encontrar a equação do plano em
onde os relógios em
e
estão sincronizados (isto é,
), (b) mostrar que a velocidade desse plano
satisfaz
e (c) interpretar fisicamente como um observador
que se move com velocidade
registra o mesmo intervalo impróprio medido em
e em
como seu próprio tempo próprio, usando dilatação de tempo.
Passo 2
Para o exercício 13 usamos
com
(a)
Calculemos Então
Calculemos
(b)
Aqui Logo
Aqui
Isto indica separação nula de tempo próprio (caso limite lumínico).
(c)
Temos , mas
, de modo que o radicando fica negativo e não existe
real: os eventos são espacialmente separados demais para haver intervalo de tempo próprio (separação espaço-like).
Temos
Passo 3
Para o exercício 14(a) partimos da transformação de tempo de Lorentz
O plano em que
satisfaz
Isolando
, obtemos
Passo 4
A velocidade do plano em
é
Passo 5
Para mostrar que
, note que
, logo
Como
, temos
, mas o fator
é suficientemente pequeno para que
Passo 6
Em (c), o observador
viaja com velocidade
de modo que os dois eventos ocorrem no mesmo ponto de
. Assim,
para
é o tempo próprio desses eventos e satisfaz a dilatação:
Mas escolhemos
de tal forma que, simultaneamente, em
e em
o intervalo de tempo medido entre esses dois eventos é exatamente
. Consequentemente, o tempo próprio
do observador
coincide numericamente com esse intervalo impróprio
medido em
e em
. Isto não fere a relatividade porque cada quadro mede intervalos impróprios para eventos que não ocorrem no mesmo ponto, e
é justamente o quadro em que eles ocorrem no mesmo ponto (dando assim
).
Resposta
13(a)
.
13(b) (caso lumínico).
13(c) não há real (separação espaço-like).
13(b)
13(c) não há
14(a)
14(a)
14(b) .
14(c) O observador vê ambos eventos no mesmo ponto, de modo que seu tempo próprio
coincide, via dilatação
, com o intervalo impróprio
medido em
e em
.
14(a)
14(b)
14(c) O observador