Qual é o intervalo de tempo próprio entre a ocorrência de dois eventos: (a) se em algum sistema inercial os eventos estão separados de 10^{9} \mathrm{~m} e ocorrem com 5 seg de diferença? (b) Se . . . 7,5 \times 10^{8} \mathrm{~m} e ocorrem com 2,5 \mathrm{seg} de diferença? (c) Se … 5 \times 10^{8} \mathrm{~m} e ocorrem com 1,5 seg. de diferença?
14. No arranjo usual dos sistemas S^{\prime} e S tendo uma velocidade relativa v ao longo de x-x^{\prime}, as origens coincidindo no instante t=t^{\prime}=0, encontraremos que, num instante posterior t, há somente um plano em S sôbre o qual os relógios concordam com os de S^{\prime}. (a) Mostre que êste plano é dado por
x=\left(\frac{c^{2}}{v}\right)\left[1-\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{1 / 2}\right] t
e se move com a velocidade
u=\left(\frac{c^{2}}{v}\right)\left[1-\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{1 / 2}\right]
em S. (b) Mostre que esta velocidade é menor do que v. (c) Suponha que um observador S^{\prime \prime} se mova com a velocidade u em relação a S. Isto significa que os relógios opostos a êle em S e S^{\prime} medirão cada um o mesmo intervalo de tempo impróprio para um evento em que um observador no sistema S^{\prime \prime} possui o tempo próprio. Usando o resultado de (b) e a expressão para a dilatação de tempo, explique como isto é possível.

Passo 1

O exercício 13 trata de calcular o intervalo de tempo próprio \Delta \tau entre dois eventos dados num mesmo sistema inercial que os mede com separação espacial \Delta x e intervalo de tempo \Delta t. O conteúdo é o conceito de tempo próprio em relatividade restrita, dado pela relação
\Delta \tau = \sqrt{\Delta t^{2} \;-\;\frac{\Delta x^{2}}{c^{2}}}\,,
onde c é a velocidade da luz. Aplicaremos essa fórmula aos três casos fornecidos.
O exercício 14 trata do arranjo de dois sistemas inerciais S e S' em movimento relativo de velocidade v ao longo do eixo x. Pede-se (a) encontrar a equação do plano em S onde os relógios em S e S' estão sincronizados (isto é, t'=t), (b) mostrar que a velocidade desse plano u satisfaz u<v e (c) interpretar fisicamente como um observador S'' que se move com velocidade u registra o mesmo intervalo impróprio medido em S e em S' como seu próprio tempo próprio, usando dilatação de tempo.

Passo 2

Para o exercício 13 usamos
\Delta \tau = \sqrt{\Delta t^{2} - \frac{\Delta x^{2}}{c^{2}}}\,,
com c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
(a) \Delta x=10^{9}\\ \mathrm{m},\\ \Delta t=5\\ \mathrm{s}.
Calculemos \Delta x/c=10^{9}/(3\times10^{8})=3{,}333\ldots\\ \mathrm{s}. Então
\Delta \tau = \sqrt{5^{2} - (3{,}333\ldots)^{2}} =\sqrt{25 - 11{,}111\ldots} =\sqrt{13{,}888\ldots} \approx3{,}73\\ \mathrm{s}\,.
(b) \Delta x=7{,}5\times10^{8}\\ \mathrm{m},\\ \Delta t=2{,}5\\ \mathrm{s}.
Aqui \Delta x/c=(7{,}5\times10^{8})/(3\times10^{8})=2{,}5\\ \mathrm{s}. Logo
\Delta \tau = \sqrt{2{,}5^{2} - 2{,}5^{2}} = 0\,.
Isto indica separação nula de tempo próprio (caso limite lumínico).
(c) \Delta x=5\times10^{8}\\ \mathrm{m},\\ \Delta t=1{,}5\\ \mathrm{s}.
Temos \Delta x/c=(5\times10^{8})/(3\times10^{8})\approx1{,}667\\ \mathrm{s}, mas \Delta x/c>\Delta t, de modo que o radicando fica negativo e não existe \Delta \tau real: os eventos são espacialmente separados demais para haver intervalo de tempo próprio (separação espaço-like).

Passo 3

Para o exercício 14(a) partimos da transformação de tempo de Lorentz
t' = \gamma\Bigl(t - \frac{v\,x}{c^{2}}\Bigr), \quad\text{com}\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}\,.
O plano em que t'=t satisfaz
\gamma\Bigl(t - \frac{v\,x}{c^{2}}\Bigr) = t \quad\Longrightarrow\quad t - \frac{v\,x}{c^{2}} = \frac{t}{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v\,x}{c^{2}} = t\Bigl(1 - \frac{1}{\gamma}\Bigr).
Isolando x, obtemos
x = \frac{c^{2}}{v}\Bigl(1 - \frac{1}{\gamma}\Bigr)\,t = \Bigl(\frac{c^{2}}{v}\Bigr)\Bigl[1 - \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}\Bigr]\,t.

Passo 4

A velocidade do plano em S é
u = \frac{x}{t} = \frac{c^{2}}{v}\Bigl[1 - \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}\Bigr].

Passo 5

Para mostrar que u<v, note que 0<\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}<1, logo
1 - \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \;<\; 1 \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{c^{2}}{v}\bigl(\dots\bigr) < \frac{c^{2}}{v}\cdot1.
Como v<c, temos \frac{c^{2}}{v}>c>v, mas o fator 1-\sqrt{1-v^{2}/c^{2}} é suficientemente pequeno para que
u = \frac{c^{2}}{v}\Bigl(1 - \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}\Bigr)\;<\;v.

Passo 6

Em (c), o observador S'' viaja com velocidade u de modo que os dois eventos ocorrem no mesmo ponto de S''. Assim, \Delta \tau'' para S'' é o tempo próprio desses eventos e satisfaz a dilatação:
\Delta \tau'' = \Delta t\,\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\,.
Mas escolhemos u de tal forma que, simultaneamente, em S e em S' o intervalo de tempo medido entre esses dois eventos é exatamente \Delta t. Consequentemente, o tempo próprio \Delta \tau'' do observador S'' coincide numericamente com esse intervalo impróprio \Delta t medido em S e em S'. Isto não fere a relatividade porque cada quadro mede intervalos impróprios para eventos que não ocorrem no mesmo ponto, e S'' é justamente o quadro em que eles ocorrem no mesmo ponto (dando assim \Delta \tau'').

Resposta

13(a) \Delta \tau\approx3{,}73\\ \mathrm{s}.
13(b) \Delta \tau=0 (caso lumínico).
13(c) não há \Delta \tau real (separação espaço-like).
14(a) x=\bigl(\tfrac{c^{2}}{v}\bigr)\bigl[1-\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\bigr]\,t.
14(a) u=\bigl(\tfrac{c^{2}}{v}\bigr)\bigl[1-\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\bigr].
14(b) u<v.
14(c) O observador S'' vê ambos eventos no mesmo ponto, de modo que seu tempo próprio \Delta \tau'' coincide, via dilatação \Delta \tau''=\Delta t\sqrt{1-u^{2}/c^{2}}, com o intervalo impróprio \Delta t medido em S e em S'.

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