As equações de transformação (com os 16 coeficientes) seriam ainda lineares, se adicionássemos um têrmo constante diferente a cada uma delas. Nós tomamos implicitamente tôdas estas constantes como sendo zero. Qual é o significado desta escolha? (Sugestão. Considere a escolha de origens.)
Passo 1
O enunciado considera transformações lineares em
descritas por 16 coeficientes, mas menciona que poderíamos acrescentar um termo constante diferente em cada equação mantendo a linearidade (na verdade, passando a uma transformação afim). Implicitamente essas constantes foram todas tomadas como zero. Precisamos entender o que significa essa escolha, sugerindo examinar a posição das origens dos sistemas de coordenadas.
Passo 2
Escrevendo a forma mais geral de uma transformação afim em 4 dimensões, temos
onde
são os 16 coeficientes lineares e
são quatro constantes de translação.
Passo 3
Os termos
correspondem ao deslocamento da origem do sistema primado em relação ao sistema não primado. Em outras palavras, eles dizem onde o ponto
(origem no sistema primado) está localizado no sistema
.
Passo 4
Ao fixar
para todo
, estamos impondo que as duas origens coincidam exatamente. Não há nenhuma translação entre os sistemas de coordenadas; o ponto
do sistema “antigo” é também o ponto
do sistema “novo”.
Resposta
Significa que escolhemos ambos os sistemas de coordenadas de modo que compartilhem a mesma origem, removendo qualquer termo de translação.