As equações de transformação (com os 16 coeficientes) seriam ainda lineares, se adicionássemos um têrmo constante diferente a cada uma delas. Nós tomamos implicitamente tôdas estas constantes como sendo zero. Qual é o significado desta escolha? (Sugestão. Considere a escolha de origens.)

Passo 1

O enunciado considera transformações lineares em \mathbb{R}^4 descritas por 16 coeficientes, mas menciona que poderíamos acrescentar um termo constante diferente em cada equação mantendo a linearidade (na verdade, passando a uma transformação afim). Implicitamente essas constantes foram todas tomadas como zero. Precisamos entender o que significa essa escolha, sugerindo examinar a posição das origens dos sistemas de coordenadas.

Passo 2

Escrevendo a forma mais geral de uma transformação afim em 4 dimensões, temos
\xi'^{\mu} \;=\; \Lambda^{\mu}{}_{\nu}\,\xi^{\nu} \;+\; a^{\mu},
onde \Lambda^{\mu}{}_{\nu} são os 16 coeficientes lineares e a^{\mu} são quatro constantes de translação.

Passo 3

Os termos a^{\mu} correspondem ao deslocamento da origem do sistema primado em relação ao sistema não primado. Em outras palavras, eles dizem onde o ponto \xi'^{\mu}=0 (origem no sistema primado) está localizado no sistema \xi^{\mu}.

Passo 4

Ao fixar a^{\mu}=0 para todo \mu, estamos impondo que as duas origens coincidam exatamente. Não há nenhuma translação entre os sistemas de coordenadas; o ponto \xi^{\mu}=0 do sistema “antigo” é também o ponto \xi'^{\mu}=0 do sistema “novo”.

Resposta

Significa que escolhemos ambos os sistemas de coordenadas de modo que compartilhem a mesma origem, removendo qualquer termo de translação.

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