(a) Uma esteira de bagagens em um aeroporto tem a forma da seção de um grande cone girando regularmente sobre seu eixo vertical. Sua superfície metálica inclina-se para baixo na direção externa, formando um ângulo de
com a horizontal. Uma mala de viagem de massa 30,0 kg é colocada na esteira em uma posição
medida horizontalmente a partir do eixo de rotação. A mala faz uma volta em
. Calcule a força de atrito estática exercida pela esteira sobre a mala.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma esteira de bagagens que é como a seção de um grande cone girando em torno de um eixo vertical. A superfície da esteira está inclinada para baixo num ângulo de
em relação à horizontal. Uma mala de 30,0 kg é colocada na esteira a 7,46 metros do centro e faz uma volta completa em 38,0 segundos. Nosso objetivo aqui é calcular a força de atrito estática que a esteira exerce na mala.
Pra resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de movimento circular, como calcular a velocidade angular e a aceleração centrípeta. Também vamos analisar as forças atuantes na mala, como a força gravitacional, a força normal e a força de atrito estática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade angular da esteira. Sabemos que a mala faz uma volta completa em 38,0 segundos. A velocidade angular (
) é relacionada ao período (
) pela fórmula:
Onde:
-
é a velocidade angular em rad/s -
é o período em segundos
Substituindo o valor dado:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração centrípeta (
), que é necessária para manter a mala em movimento circular. A fórmula para a aceleração centrípeta é:
Onde:
-
é a velocidade angular -
é o raio da trajetória, que no caso é a distância da mala ao centro, 7,46 m
Substituindo os valores:
Passo 4
Com a aceleração centrípeta, podemos calcular a força centrípeta (
) que atua sobre a mala usando a segunda lei de Newton:
Onde:
-
é a massa da mala, 30,0 kg -
é a aceleração centrípeta
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos analisar as forças atuantes na mala. Temos:
- Força gravitacional (
): Puxa a mala para baixo e é dada por , onde . - Força normal (
): É a força perpendicular à superfície da esteira. - Força de atrito estática (
): Atua na direção contrária ao movimento e é responsável por fornecer a força centrípeta necessária.
Como a esteira está inclinada, a força normal não só equilibra a componente da gravidade perpendicular à inclinação, mas também contribui para a força centrípeta através da força de atrito.
Vamos decompor as forças na direção perpendicular e na direção horizontal (centrípeta).
Passo 6
Primeiro, calculamos a força gravitacional:
Agora, vamos decompor essa força em duas componentes:
- Perpendicular à esteira:
- Paralela à esteira:
Onde
.
Passo 7
A força normal (
) equilibra a componente perpendicular da força gravitacional, então:
Agora, a força de atrito estática (
) precisa equilibrar a soma da componente paralela da gravidade e fornecer a força centrípeta. Ou seja:
Substituindo os valores que já calculamos:
Resposta
A força de atrito estática exercida pela esteira sobre a mala é aproximadamente
.