(a) Uma esteira de bagagens em um aeroporto tem a forma da seção de um grande cone girando regularmente sobre seu eixo vertical. Sua superfície metálica inclina-se para baixo na direção externa, formando um ângulo de com a horizontal. Uma mala de viagem de massa 30,0 kg é colocada na esteira em uma posição medida horizontalmente a partir do eixo de rotação. A mala faz uma volta em . Calcule a força de atrito estática exercida pela esteira sobre a mala.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma esteira de bagagens que é como a seção de um grande cone girando em torno de um eixo vertical. A superfície da esteira está inclinada para baixo num ângulo de em relação à horizontal. Uma mala de 30,0 kg é colocada na esteira a 7,46 metros do centro e faz uma volta completa em 38,0 segundos. Nosso objetivo aqui é calcular a força de atrito estática que a esteira exerce na mala.
Pra resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de movimento circular, como calcular a velocidade angular e a aceleração centrípeta. Também vamos analisar as forças atuantes na mala, como a força gravitacional, a força normal e a força de atrito estática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade angular da esteira. Sabemos que a mala faz uma volta completa em 38,0 segundos. A velocidade angular ( ) é relacionada ao período ( ) pela fórmula:
Onde:
  • é a velocidade angular em rad/s
  • é o período em segundos
Substituindo o valor dado:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração centrípeta ( ), que é necessária para manter a mala em movimento circular. A fórmula para a aceleração centrípeta é:
Onde:
  • é a velocidade angular
  • é o raio da trajetória, que no caso é a distância da mala ao centro, 7,46 m
Substituindo os valores:

Passo 4

Com a aceleração centrípeta, podemos calcular a força centrípeta ( ) que atua sobre a mala usando a segunda lei de Newton:
Onde:
  • é a massa da mala, 30,0 kg
  • é a aceleração centrípeta
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos analisar as forças atuantes na mala. Temos:
  1. Força gravitacional ( ): Puxa a mala para baixo e é dada por , onde .
  2. Força normal ( ): É a força perpendicular à superfície da esteira.
  3. Força de atrito estática ( ): Atua na direção contrária ao movimento e é responsável por fornecer a força centrípeta necessária.
Como a esteira está inclinada, a força normal não só equilibra a componente da gravidade perpendicular à inclinação, mas também contribui para a força centrípeta através da força de atrito.
Vamos decompor as forças na direção perpendicular e na direção horizontal (centrípeta).

Passo 6

Primeiro, calculamos a força gravitacional:
Agora, vamos decompor essa força em duas componentes:
  • Perpendicular à esteira:
  • Paralela à esteira:
Onde .

Passo 7

A força normal ( ) equilibra a componente perpendicular da força gravitacional, então:
Agora, a força de atrito estática ( ) precisa equilibrar a soma da componente paralela da gravidade e fornecer a força centrípeta. Ou seja:
Substituindo os valores que já calculamos:

Resposta

A força de atrito estática exercida pela esteira sobre a mala é aproximadamente .

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