Um fio de densidade é cônico, de modo que sua área transversal varia com de acordo com:
onde é expressa em metros quadrados e em metros. A tensão no fio é . (a) Derive uma relação para a velocidade de uma onda em função da posição.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um fio com densidade linear que é cônico, ou seja, sua área transversal varia com a posição de acordo com a equação:
O que precisamos encontrar é uma relação para a velocidade de uma onda no fio em função da posição . Para isso, vamos usar conceitos de física das ondas em meios materiais.

Passo 2

A velocidade de uma onda em um fio é dada pela fórmula:
onde:
  • é a velocidade da onda,
  • é a tensão no fio,
  • é a densidade linear de massa do fio.

Passo 3

A densidade linear de massa é definida como a massa por unidade de comprimento do fio. Se a densidade volumétrica do material é e a área transversal é , então:
Isso significa que a densidade linear de massa também varia com a posição , já que a área varia.

Passo 4

Substituindo a expressão de na fórmula da velocidade da onda, temos:
Agora, vamos substituir a expressão dada para :

Passo 5

Substituindo na equação da velocidade:
Essa é a relação que nos permite calcular a velocidade da onda em função da posição no fio cônico.

Resposta

A velocidade da onda em função da posição é dada por:

Exercícios de Livros Relacionados