Um fio de densidade
é cônico, de modo que sua área transversal varia com
de acordo com:
onde
é expressa em metros quadrados e
em metros. A tensão no fio é
. (a) Derive uma relação para a velocidade de uma onda em função da posição.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos um fio com densidade linear
que é cônico, ou seja, sua área transversal
varia com a posição
de acordo com a equação:
O que precisamos encontrar é uma relação para a velocidade de uma onda
no fio em função da posição
. Para isso, vamos usar conceitos de física das ondas em meios materiais.
Passo 2
A velocidade de uma onda em um fio é dada pela fórmula:
onde:
-
é a velocidade da onda, -
é a tensão no fio, -
é a densidade linear de massa do fio.
Passo 3
A densidade linear de massa
é definida como a massa por unidade de comprimento do fio. Se a densidade volumétrica do material é
e a área transversal é
, então:
Isso significa que a densidade linear de massa também varia com a posição
, já que a área
varia.
Passo 4
Substituindo a expressão de
na fórmula da velocidade da onda, temos:
Agora, vamos substituir a expressão dada para
:
Passo 5
Substituindo
na equação da velocidade:
Essa é a relação que nos permite calcular a velocidade da onda
em função da posição
no fio cônico.
Resposta
A velocidade da onda em função da posição
é dada por: