Em Física, é importante utilizar aproximações matemáticas. (b) Utilize uma calculadora para encontrar o maior ângulo para o qual
pode ser aproximada por
com um erro menor que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu um exercício de Física que fala sobre usar aproximações matemáticas. Especificamente, a questão quer saber qual é o maior ângulo, chamado α, em que podemos dizer que
é aproximadamente igual a α, e essa aproximação tem um erro menor que 10%. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o erro percentual e usar uma calculadora para encontrar o valor de α que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função tangente de um ângulo α é definida como
em um triângulo retângulo. No entanto, para ângulos pequenos,
é aproximadamente igual a α (quando α está em radianos). Nosso objetivo é descobrir até que ponto essa aproximação mantém um erro menor que 10%.
Passo 3
Para encontrar o erro da aproximação, usamos a fórmula do erro percentual:
Queremos que esse erro seja menor que 10%, ou seja:
Passo 4
Vamos simplificar a desigualdade:
Isso significa que a diferença entre
e α deve ser menos que 10% de
. Agora, precisamos resolver essa inequação para encontrar o valor de α.
Passo 5
Para resolver numericamente, podemos usar uma calculadora ou uma ferramenta gráfica para calcular
e verificar quando a condição do erro é satisfeita. Vamos testar alguns valores de α:
-
Para α = 0,5 radianos:
-
- Erro =
ou 2,83% < 10% (válido)
-
-
Para α = 1 radiano:
-
- Erro =
ou 35,92% > 10% (não válido)
-
Vamos tentar um valor intermediário, como α = 0,75 radianos:
-
- Erro =
ou 19,3% > 10% (não válido)
E outro valor, α = 0,6 radianos:
-
- Erro =
ou 10,47% > 10% (quase lá)
Tentando α = 0,58 radianos:
-
- Erro =
ou 11% > 10%
E finalmente, α = 0,55 radianos:
-
- Erro =
ou 13,7% > 10%
Parece que o valor está entre 0,5 e 0,6 radianos. Vamos usar métodos mais precisos ou uma calculadora com mais casas decimais para encontrar o exato onde o erro é de 10%.
Resposta
O maior ângulo α para o qual
pode ser aproximada por α com um erro menor que 10% é aproximadamente 0,5 radianos.