Enunciado

Urano, o sétimo o planeta do sistema solar, foi observado pela primeira vez em 1781 por William Herschel. Sua órbita foi, então, analisada em termos da lei de Kepler. Nos anos de 1840, observações de Urano mostraram claramente que sua órbita verdadeira era diferente do resultado dos cálculos Keplerianos, por uma quantidade eu não podia ser justificada em termos de imprecisão de observação. A conclusão foi que devia haver alguma influência, além da do Sol e dos planetas conhecidos em órbtas internas à um oitavo planeta, cuja órbita foi prevista independentemente por dois astrônomos, em 1845: John Adams e urbain LeVerrier. Em setembro de 1846, John Galle, procurando no céu no local previsto por Adams e LeVerrier, fez a primeira observação de Netuno. Urano e Netuno estão em órbita em torno do Sol com períodos de 84,0 e 164,8 anos, respectivamente. Para ver o efeito de Netuno sobre Urano, determine a razão entre as forças gravitacionais entre Netuno e Urano e aquela entre Urano e o Sol, quando Netuno e Urano estão em sua aproximação máxima (isto é, alinhados com o Sol). As massas do Sol, de Urano e de Netuno são 333.000 , 14,5 e 17,1 vezes a massa da Terra, respectivamente.

Passo 1

Como queremos saber a razão entre as forças gravitacionais entre Netuno ( N ) e Urano   ( U ) e aquela entre Urano e o Sol ( S ) , vamos fazer o seguinte:

F g   N - U = G M N M U r N - r u 2

Repare que quando os planetas estiverem alinhados, a distancia entre os centro de Netuno ( N ) e Urano   ( U ) será r N - r u . Agora vamos ver a força entre o Sol e Urano.

F g   S - U = G M S M U r u 2

Passo 2

Como queremos a razão entre essas forças, vamos fazer a divisão.

F g N - U F g U - S = G M N M U r N - r U 2 G M S M U r U 2

Simplificando, temos:

F g N - U F g U - S = M N r N - r U 2 ⋅ r U 2 M S

Isto é,

F g N - U F g U - S = M N M S ⋅ r U r N - r U 2

O enunciado nos deu os valores de período e não de raio. Assim, teremos que relacionar período com raio. Opaa, mas isso é a terceira lei e Kepler 😉

T 2 = C r 3 , onde C é uma constante

Então as coisas vão ficar assim ó:

T U 2 = C ⋅ r U 3 → r U = T U 2 C 3

Fazendo a mesma coisa para Netuno orbitando o Sol:

r N = T N 2 C 3

Passo 3

Agora vamos arrumar nossa expressão.

F g N - U F g U - S = M N M S ⋅ r U r N - r U 2

Usando que r N = T N 2 C 3 e r U = T U 2 C 3 :

F g N - U F g U - S = M N M S ⋅ T U 2 C 3 T N 2 C 3 - T U 2 C 3 2

Eu sei que ta feio, mas podemos simplificar essa C , olha só:

F g N - U F g U - S = M N M S ⋅ T U 2 3 T N 2 3 - T U 2 3 2

Menos pior né?! Agora vamos substituir os valores.

F g N - U F g U - S = 17,1 ⋅ M T 333.000 ⋅ M T ⋅ 84   a n o s 2 3 164,8   a n o s 2 3 - 84   a n o s 2 3 2

Fazendo as contas:

F g N - U F g U - S ≅ 1,6 × 10 - 4

Com isso, vemos que quando Netuno está perto de Urano, a força gravitacional exercida em Urano devido a Netuno é bem menor em relação a força exercida em Urano pelo Sol.

Resposta

F g N - U F g U - S ≅ 1,6 × 10 - 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

12.10. Quatro massas idênticas de 800 kg cada são colocadas nos cantos de um quadrado cujo lado mede 10,0 cm. Qual é a força gravitacional resultante (módulo, direção e sentido) sobre uma das massas e
12.2. Experiência de Cavendish. Para usar a balança de Cavendish mostrada na Figura 12.4, suponha que m 1 = 1,10k g , m 2 = 25,0k g e a haste que conecta os pares de m 1 possui 30,0c m de comprimento.
12.9. Determine o módulo, a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pelo Sol e pela Terra sobre a Lua quando a Lua está em cada uma das posições indicadas na Figura 12.32 (Note
12.20. Estrelas de nêutrons, como a que se localiza no centro da Nebulosa do Caranguejo, têm aproximadamente a mesma massa que o nosso Sol, mas um diâmetro muito menor do que o Sol. Se você pesasse 67
12.17. Titânia, a maior lua do planeta Urano, possui um raio igual a 1/8 do raio da Terra e massa igual a 1/1700 da massa da Terra.a) Qual é a aceleração da gravidade na superfície de Titânia?b) Qual