Uma força dependente do tempo,
, onde
está dada em newtons e
em segundos, é exercida sobre um corpo de
inicialmente em repouso. (b) A que distância de sua posição inicial estará o corpo quando sua velocidade for
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma força que muda com o tempo, dada por
, onde
é o tempo em segundos. Essa força está atuando sobre um corpo de massa
que começa parado. A pergunta é: a que distância da posição inicial o corpo estará quando sua velocidade alcançar
?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Segunda Lei de Newton, aceleração, velocidade e movimento retilíneo uniformemente variado (integrando a aceleração para encontrar a velocidade e depois a velocidade para encontrar a distância).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual ao produto da massa pela aceleração:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a aceleração em cada direção. Dividimos a força pela massa para achar a aceleração:
Passo 4
Agora, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. Sabemos que:
Como o corpo começa do repouso,
. Então:
Passo 5
A velocidade total do corpo quando ela for
pode ser encontrada pela magnitude do vetor velocidade:
Queremos que isso seja igual a
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 6
Podemos fazer uma substituição: seja
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Desprezando a solução negativa (pois
não pode ser negativo):
Passo 7
Agora que sabemos que
, vamos encontrar a posição do corpo nesse tempo. A posição é dada pela integral da velocidade:
Como o corpo começa na posição inicial,
. Então:
Em
:
Resposta
Quando a velocidade do corpo for
, ele estará a uma distância de $ \sqrt{18,0^2 + (-9,0)^2} = \sqrt{324 + 81} = \sqrt{405} \approx 20,12 \mathrm{~m}$ da posição inicial.