Uma força dependente do tempo, , onde está dada em newtons e em segundos, é exercida sobre um corpo de inicialmente em repouso. (b) A que distância de sua posição inicial estará o corpo quando sua velocidade for ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma força que muda com o tempo, dada por , onde é o tempo em segundos. Essa força está atuando sobre um corpo de massa que começa parado. A pergunta é: a que distância da posição inicial o corpo estará quando sua velocidade alcançar ?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Segunda Lei de Newton, aceleração, velocidade e movimento retilíneo uniformemente variado (integrando a aceleração para encontrar a velocidade e depois a velocidade para encontrar a distância).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual ao produto da massa pela aceleração:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos encontrar a aceleração em cada direção. Dividimos a força pela massa para achar a aceleração:

Passo 4

Agora, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. Sabemos que:
Como o corpo começa do repouso, . Então:

Passo 5

A velocidade total do corpo quando ela for pode ser encontrada pela magnitude do vetor velocidade:
Queremos que isso seja igual a :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 6

Podemos fazer uma substituição: seja , então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as soluções são:
Desprezando a solução negativa (pois não pode ser negativo):

Passo 7

Agora que sabemos que , vamos encontrar a posição do corpo nesse tempo. A posição é dada pela integral da velocidade:
Como o corpo começa na posição inicial, . Então:
Em :

Resposta

Quando a velocidade do corpo for , ele estará a uma distância de $ \sqrt{18,0^2 + (-9,0)^2} = \sqrt{324 + 81} = \sqrt{405} \approx 20,12 \mathrm{~m}$ da posição inicial.

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