A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
onde e estão dados em metros e em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é , (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma função de onda para uma corda tensa dada por:
Aqui, e estão em metros, em segundos, e a densidade de massa linear da corda é . Precisamos encontrar a energia contida em cada ciclo da onda. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia de uma onda em uma corda, que envolve tanto a energia cinética quanto a energia potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros importantes da função de onda:
  • Amplitude ( ): é o coeficiente que está na frente do seno, ou seja, .
  • Frequência angular ( ): o termo que multiplica o tempo , então .
  • Número de onda ( ): o termo que multiplica a posição , então .
  • Densidade de massa linear ( ): já nos foi dado, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a energia total por unidade de comprimento ( ) de uma onda em uma corda é a soma da energia cinética e da energia potencial. Essas duas energias são iguais para ondas harmônicas, então podemos calcular apenas uma delas e dobrar o resultado:

Passo 4

Substituindo os valores que identificamos:
Primeiro, calculamos :
E :

Passo 5

Agora, multiplicamos todos os valores:
Primeiro, multiplicamos :
Depois, multiplicamos por :
Então, a energia por unidade de comprimento é aproximadamente .

Passo 6

Para encontrar a energia contida em cada ciclo da onda, precisamos saber o comprimento de onda ( ) e a frequência ( ).
Primeiro, vamos encontrar a frequência a partir da frequência angular :
Agora, a duração de um ciclo ( ) é o inverso da frequência:

Passo 7

O comprimento de onda ( ) pode ser encontrado usando a relação entre a velocidade da onda ( ), frequência ( ) e comprimento de onda:
A velocidade da onda também pode ser calculada por:
Agora, resolvendo para :

Passo 8

A energia contida em cada ciclo ( ) é a energia por unidade de comprimento multiplicada pelo comprimento de onda:

Resposta

A energia contida em cada ciclo da onda é aproximadamente .

Exercícios de Livros Relacionados