A função de onda para uma onda em uma corda tensa é:
onde
e
estão dados em metros e
em segundos. Se a densidade de massa linear da corda é
, (b) Qual é a energia contida em cada ciclo da onda?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma função de onda para uma corda tensa dada por:
Aqui,
e
estão em metros,
em segundos, e a densidade de massa linear da corda é
. Precisamos encontrar a energia contida em cada ciclo da onda. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia de uma onda em uma corda, que envolve tanto a energia cinética quanto a energia potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros importantes da função de onda:
- Amplitude (
): é o coeficiente que está na frente do seno, ou seja, . - Frequência angular (
): o termo que multiplica o tempo , então . - Número de onda (
): o termo que multiplica a posição , então . - Densidade de massa linear (
): já nos foi dado, .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a energia total por unidade de comprimento (
) de uma onda em uma corda é a soma da energia cinética e da energia potencial. Essas duas energias são iguais para ondas harmônicas, então podemos calcular apenas uma delas e dobrar o resultado:
Passo 4
Substituindo os valores que identificamos:
Primeiro, calculamos
:
E
:
Passo 5
Agora, multiplicamos todos os valores:
Primeiro, multiplicamos
:
Depois, multiplicamos por
:
Então, a energia por unidade de comprimento é aproximadamente
.
Passo 6
Para encontrar a energia contida em cada ciclo da onda, precisamos saber o comprimento de onda (
) e a frequência (
).
Primeiro, vamos encontrar a frequência
a partir da frequência angular
:
Agora, a duração de um ciclo (
) é o inverso da frequência:
Passo 7
O comprimento de onda (
) pode ser encontrado usando a relação entre a velocidade da onda (
), frequência (
) e comprimento de onda:
A velocidade da onda também pode ser calculada por:
Agora, resolvendo para
:
Passo 8
A energia contida em cada ciclo (
) é a energia por unidade de comprimento multiplicada pelo comprimento de onda:
Resposta
A energia contida em cada ciclo da onda é aproximadamente
.