A função de onda no espaço de momento (independente do tempo) em três dimensões é definida pela generalização natural da Equação 3.54:
Certifique-se de que
§ esteja normalizada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para garantir que a função de onda no espaço de momento,
, esteja normalizada. Isso envolve conceitos de quantum mechanics, especificamente sobre como as funções de onda são normalizadas tanto no espaço real quanto no espaço de momento. Para resolver isso, vamos precisar entender a transformação de Fourier que relaciona
e
, além de como a normalização funciona em cada espaço.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma função de onda está normalizada se a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço for igual a 1. No espaço real, isso significa:
E no espaço de momento, queremos que:
Passo 3
Vamos começar calculando
. Pela definição dada:
Então, o módulo ao quadrado é:
Passo 4
Agora, vamos integrar
sobre todo o espaço de momento:
Passo 5
Vamos trocar a ordem das integrações e reconhecer que a integral sobre
resulta em um delta de Dirac:
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Passo 7
Como
está normalizada, sabemos que:
Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que
está normalizada.