Encontre a matriz que representa para a partícula de spin (usando, como sempre, a base dos autoestados de ). Resolva a equação característica para determinar os autovalores de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a matriz que representa para uma partícula de spin na base dos autoestados de . Depois, precisamos resolver a equação característica dessa matriz para descobrir os autovalores de .
Para isso, vamos precisar entender sobre operadores de spin, matrizes de representação desses operadores na base de , e como resolver equações características para encontrar autovalores. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula de spin , temos quatro estados possíveis de : . Isso significa que nossas matrizes de spin serão .

Passo 3

Agora, precisamos construir a matriz que representa , que geralmente corresponde ao operador no alfabeto de componentes . A matriz na base de para spin é uma matriz Hermitiana com elementos imaginários.
A matriz para spin é dada por:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, mas para simplificação, podemos tomar .

Passo 4

Substituindo , a matriz fica:

Passo 5

Agora, queremos encontrar os autovalores de . Primeiro, precisamos saber que e estão relacionados através de uma rotação no espaço dos operadores de spin. Porém, para simplificar, vamos assumir que devemos trabalhar diretamente com .
A matriz para spin na base de é similar à de , mas com elementos reais:

Passo 6

Para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade de e são os autovalores que queremos encontrar.

Passo 7

Calcular o determinante dessa matriz pode ser trabalhoso, mas sabemos que para operadores de spin, os autovalores de devem ser os mesmos que os de , ou seja, . Para spin , os possíveis autovalores são e .

Resposta

Os autovalores de para uma partícula de spin são .

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