[Tente resolver esse problema somente se estiver familiarizado com cálculo vetorial.] Defina a corrente de probabilidade (tridimensional) por generalização do Problema 1.14:
Se interpretarmos
como o fluxo de massa, o momento angular será
Use isso para calcular
para o estado
e comente o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir a corrente de probabilidade tridimensional usando uma generalização do Problema 1.14. Depois, com base nessa corrente, calcular o momento angular
para o estado
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e mecânica quântica, especificamente sobre correntes de probabilidade e operadores de momento angular. Precisamos entender as fórmulas fornecidas e aplicá-las ao estado quântico dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a corrente de probabilidade
. Ela nos dá uma ideia de como a probabilidade de encontrar uma partícula se move no espaço. A formulação tridimensional que temos é:
Aqui:
-
é a função de onda do sistema. -
é o complexo conjugado de . -
é o operador nabla, representando o gradiente. -
é a unidade imaginária. -
é a constante de Planck reduzida. -
é a massa da partícula.
Essa expressão nos ajuda a calcular como a probabilidade de presença da partícula “fluxiona” no espaço.
Passo 3
Agora, queremos usar essa corrente de probabilidade para encontrar o momento angular
. A fórmula dada é:
Aqui:
-
é o vetor posição. -
representa o produto vetorial. - A integral
significa que vamos somar contribuições em todo o espaço tridimensional.
O componente
do momento angular é a parte do momento angular na direção z, que podemos extrair dessa expressão.
Passo 4
Vamos agora aplicar isso ao estado
. Esse estado é um estado estacionário do átomo de hidrogênio, com números quânticos principais
, azimutal
e magnético
.
A função de onda para
pode ser escrita como:
Onde:
-
é a parte radial da função de onda. -
é a função harmônica esférica para e .
Passo 5
Para encontrar
, precisamos calcular a integral:
Aqui,
é a componente z do produto vetorial entre
e
.
Sabemos que, em mecânica quântica, o operador de momento angular
age sobre a função de onda como:
Para o estado
, onde
, então:
Passo 6
Portanto, ao calcular a expectativa do momento angular
no estado
, obtemos:
Isso significa que o momento angular na direção z para esse estado é igual a
, que é a unidade fundamental de momento angular na mecânica quântica.
Resposta
O momento angular
para o estado
é igual a
.