[Tente resolver esse problema somente se estiver familiarizado com cálculo vetorial.] Defina a corrente de probabilidade (tridimensional) por generalização do Problema 1.14:
Se interpretarmos como o fluxo de massa, o momento angular será
Use isso para calcular para o estado e comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente definir a corrente de probabilidade tridimensional usando uma generalização do Problema 1.14. Depois, com base nessa corrente, calcular o momento angular para o estado . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e mecânica quântica, especificamente sobre correntes de probabilidade e operadores de momento angular. Precisamos entender as fórmulas fornecidas e aplicá-las ao estado quântico dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a corrente de probabilidade . Ela nos dá uma ideia de como a probabilidade de encontrar uma partícula se move no espaço. A formulação tridimensional que temos é:
Aqui:
  • é a função de onda do sistema.
  • é o complexo conjugado de .
  • é o operador nabla, representando o gradiente.
  • é a unidade imaginária.
  • é a constante de Planck reduzida.
  • é a massa da partícula.
Essa expressão nos ajuda a calcular como a probabilidade de presença da partícula “fluxiona” no espaço.

Passo 3

Agora, queremos usar essa corrente de probabilidade para encontrar o momento angular . A fórmula dada é:
Aqui:
  • é o vetor posição.
  • representa o produto vetorial.
  • A integral significa que vamos somar contribuições em todo o espaço tridimensional.
O componente do momento angular é a parte do momento angular na direção z, que podemos extrair dessa expressão.

Passo 4

Vamos agora aplicar isso ao estado . Esse estado é um estado estacionário do átomo de hidrogênio, com números quânticos principais , azimutal e magnético .
A função de onda para pode ser escrita como:
Onde:
  • é a parte radial da função de onda.
  • é a função harmônica esférica para e .

Passo 5

Para encontrar , precisamos calcular a integral:
Aqui, é a componente z do produto vetorial entre e .
Sabemos que, em mecânica quântica, o operador de momento angular age sobre a função de onda como:
Para o estado , onde , então:

Passo 6

Portanto, ao calcular a expectativa do momento angular no estado , obtemos:
Isso significa que o momento angular na direção z para esse estado é igual a , que é a unidade fundamental de momento angular na mecânica quântica.

Resposta

O momento angular para o estado é igual a .

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