Se você medir nesse elétron, quais valores você poderia obter e quais seriam as probabilidades de cada um? Qual é o valor esperado de ?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um elétron em um estado de spin representado pelo vetor
O conteúdo da matéria aqui é a mecânica quântica, especificamente sobre os estados de spin e observáveis como . Para resolver, vamos precisar conhecer os vetores de estado para , calcular as probabilidades de obter cada valor possível de e, por fim, encontrar o valor esperado de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um sistema de spin-1/2, os possíveis valores que podemos medir para são e . Esses são os únicos dois resultados possíveis para a componente y do spin de um elétron.
Passo 3
Agora, precisamos expressar os vetores próprios de . Os vetores próprios de são dados por:
Esses vetores representam os estados de spin alinhados e anti-alinhados com o eixo y.
Passo 4
Para encontrar as probabilidades de cada resultado, calculamos o módulo ao quadrado do produto interno entre o estado do elétron e cada um dos vetores próprios de .
Primeiro, normalizamos o vetor :
$$
A ) é a constante de normalização que garante que tenha norma 1:
Então,
Passo 5
Calculamos o produto interno de com :
A probabilidade de obter é o módulo ao quadrado desse valor:
Percebe-se que há um erro aqui, já que a probabilidade não pode ser maior que 1. Vamos corrigir isso.
Passo 6
Na verdade, a normalização não estava correta. Vamos recalcular o produto interno corretamente.
Então,
Passo 7
De forma semelhante, calculamos o produto interno com :
A probabilidade de obter é:
Novamente, notamos que algo está errado. Vamos verificar o cálculo.
Passo 8
Realmente, houve um erro na aplicação dos sinais. Vamos refazer corretamente:
A probabilidade correta é:
Claramente, há um erro na normalização ou nos cálculos anteriores. Vamos revisar todo o processo.
Passo 9
Vamos recalcular tudo passo a passo para evitar erros.
Normalização do vetor :
Então,
Produto interno com :
Então,
Produto interno com :
Então,
Passo 10
Agora que temos as probabilidades:
para
para
Passo 11
Para encontrar o valor esperado de , usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
Ao medir no elétron, você pode obter os valores com probabilidade e com probabilidade . O valor esperado de é .
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 4.Outros Problemas - Ex. Problema 4.49d