Um hidroavião de massa total
aterrissa em um lago com velocidade inicial
. A única força horizontal sobre ele é a resistiva da água em seus flutuadores. A força resistiva é proporcional à velocidade do hidroavião:
. A Segunda Lei de Newton aplicada ao avião é
. A partir do teorema fundamental do cálculo, esta equação diferencial significa que a velocidade muda de acordo com
© O hidroavião para completamente após um intervalo de tempo finito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um hidroavião que aterrissa num lago com uma certa velocidade inicial
e sofre apenas a força resistiva da água, que depende da velocidade. A gente vai usar a Segunda Lei de Newton e um pouquinho de cálculo para descobrir se o hidroavião para completamente depois de um certo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade muda com o tempo quando a resistência é proporcional à velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
No nosso caso, a única força horizontal é a resistência da água:
Então, aplicando a Segunda Lei:
Simplificando:
Passo 3
Agora, a gente tem uma equação diferencial que relaciona a velocidade
com o tempo
:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos os dois lados da equação:
Resolvendo as integrais:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Então, a velocidade do hidroavião diminui exponencialmente com o tempo.
Passo 6
Para saber se o hidroavião para completamente após um tempo finito, precisamos ver se
chega a zero em algum instante
. Olhando a expressão:
O expoente
tende a menos infinito conforme
tende ao infinito, o que faz com que
se aproxime de zero, mas nunca exatamente alcance zero em um tempo finito.
Resposta
Não, o hidroavião nunca para completamente em um intervalo de tempo finito. A velocidade
se aproxima de zero conforme o tempo aumenta, mas nunca chega exatamente a zero em um tempo específico.