Um hidroavião de massa total aterrissa em um lago com velocidade inicial . A única força horizontal sobre ele é a resistiva da água em seus flutuadores. A força resistiva é proporcional à velocidade do hidroavião: . A Segunda Lei de Newton aplicada ao avião é . A partir do teorema fundamental do cálculo, esta equação diferencial significa que a velocidade muda de acordo com
© O hidroavião para completamente após um intervalo de tempo finito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um hidroavião que aterrissa num lago com uma certa velocidade inicial e sofre apenas a força resistiva da água, que depende da velocidade. A gente vai usar a Segunda Lei de Newton e um pouquinho de cálculo para descobrir se o hidroavião para completamente depois de um certo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade muda com o tempo quando a resistência é proporcional à velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Segunda Lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
No nosso caso, a única força horizontal é a resistência da água:
Então, aplicando a Segunda Lei:
Simplificando:

Passo 3

Agora, a gente tem uma equação diferencial que relaciona a velocidade com o tempo :
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida separando as variáveis.

Passo 4

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos os dois lados da equação:
Resolvendo as integrais:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Então, a velocidade do hidroavião diminui exponencialmente com o tempo.

Passo 6

Para saber se o hidroavião para completamente após um tempo finito, precisamos ver se chega a zero em algum instante . Olhando a expressão:
O expoente tende a menos infinito conforme tende ao infinito, o que faz com que se aproxime de zero, mas nunca exatamente alcance zero em um tempo finito.

Resposta

Não, o hidroavião nunca para completamente em um intervalo de tempo finito. A velocidade se aproxima de zero conforme o tempo aumenta, mas nunca chega exatamente a zero em um tempo específico.

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