Um hidroavião de massa total aterrissa em um lago com velocidade inicial . A única força horizontal sobre ele é a resistiva da água em seus flutuadores. A força resistiva é proporcional à velocidade do hidroavião: . A Segunda Lei de Newton aplicada ao avião é . A partir do teorema fundamental do cálculo, esta equação diferencial significa que a velocidade muda de acordo com
(d) O hidroavião percorre uma distância finita quando está parando?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos um hidroavião com massa total que aterrissa num lago com uma velocidade inicial . A única força que age horizontalmente sobre ele é a força resistiva da água, que depende da velocidade do avião. A ideia é descobrir se, quando o avião para completamente, ele percorre uma distância finita no lago. Para resolver isso, vamos usar a Segunda Lei de Newton e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação da Segunda Lei de Newton que foi dada:
Aqui, é a força resistiva proporcional à velocidade , e é a massa vezes a aceleração do avião. Podemos simplificar essa equação eliminando o vetor unitário :
Passo 3
Agora, queremos resolver essa equação diferencial para encontrar como a velocidade muda com o tempo . Vamos separar as variáveis:
Integrando os dois lados, temos:
Isso nos dá:
Exponentiando ambos os lados para resolver para :
Passo 4
Para achar a distância que o hidroavião percorre até parar, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de quando o tempo tende ao infinito (ou seja, quando o avião para completamente). O termo vai a zero, então a distância total percorrida é:
Resposta
Sim, o hidroavião percorre uma distância finita quando para, igual a .
Física - Serway e Jewett - Física para cientistas e engenheiros - Vol1 - 1ª Edição - Capítulo 6.Problemas - Ex. 47d