Um hidroavião de massa total
aterrissa em um lago com velocidade inicial
. A única força horizontal sobre ele é a resistiva da água em seus flutuadores. A força resistiva é proporcional à velocidade do hidroavião:
. A Segunda Lei de Newton aplicada ao avião é
. A partir do teorema fundamental do cálculo, esta equação diferencial significa que a velocidade muda de acordo com
(b) Desenhe um gráfico da velocidade como função do tempo.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre um hidroavião que está aterrissando em um lago. A gente precisa entender como a velocidade dele muda com o tempo quando só existe uma força resistiva agindo sobre ele, que depende da velocidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à Segunda Lei de Newton e equações diferenciais.
Passo 2
A força resistiva que age no hidroavião é proporcional à sua velocidade, ou seja,
. Segundo a Segunda Lei de Newton, essa força é igual à massa vezes a aceleração:
Isso nos dá uma equação diferencial que relaciona a velocidade
com o tempo
. Para resolver, separamos as variáveis e integramos:
Integrando, obtemos:
Elevando ambos os lados como potência de
, temos a solução para a velocidade em função do tempo:
Passo 3
Agora, vamos pensar em como a velocidade
se comporta ao longo do tempo. A função
é uma função exponencial decrescente. Isso significa que:
- Quando
, , ou seja, a velocidade inicial é . - Conforme o tempo aumenta, a velocidade diminui de forma exponencial, aproximando-se de zero, mas nunca chegando exatamente a zero.
Resposta
O gráfico da velocidade em função do tempo é uma curva exponencial decrescente que começa em
no instante
e diminui suavemente, aproximando-se de zero conforme o tempo passa. A forma geral do gráfico é:
v(t)
|
|\
| \
| \
| \
| \
| \
| \
|_______\________ t
Aqui, a curva inicia no ponto
e desce de forma suave, refletindo a diminuição exponencial da velocidade do hidroavião ao longo do tempo.