QU O ar é inflado para dentro de um balão esférico de maneira que, quando seu raio é de , ele está aumentando em . (a) Encontre a taxa à qual o volume do balão está aumentando.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um balão esférico cujo raio está aumentando. A gente precisa descobrir quão rápido o volume do balão está crescendo nesse momento. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação. Precisamos saber como o volume de uma esfera depende do raio e como essa relação se comporta quando o raio está mudando com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de uma esfera. O volume de uma esfera com raio é dado por:
Essa fórmula nos diz como o volume depende do raio.

Passo 3

Como o raio está mudando com o tempo, queremos saber como o volume muda também com o tempo. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo . Usamos a derivada para encontrar a taxa de variação.

Passo 4

Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo, temos:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, onde derivamos em relação a e multiplicamos pela derivada de em relação a .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dados no problema. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular passo a passo. Primeiro, calculamos :
Então:

Passo 7

Multiplicando os números:
Portanto:

Resposta

A taxa de aumento do volume do balão é , aproximadamente .

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