QU O ar é inflado para dentro de um balão esférico de maneira que, quando seu raio é de
, ele está aumentando em
. (a) Encontre a taxa à qual o volume do balão está aumentando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um balão esférico cujo raio está aumentando. A gente precisa descobrir quão rápido o volume do balão está crescendo nesse momento. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação. Precisamos saber como o volume de uma esfera depende do raio e como essa relação se comporta quando o raio está mudando com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de uma esfera. O volume
de uma esfera com raio
é dado por:
Essa fórmula nos diz como o volume depende do raio.
Passo 3
Como o raio está mudando com o tempo, queremos saber como o volume muda também com o tempo. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Usamos a derivada para encontrar a taxa de variação.
Passo 4
Derivando a fórmula do volume em relação ao tempo, temos:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia, onde derivamos
em relação a
e multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores dados no problema. Sabemos que:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo. Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 7
Multiplicando os números:
Portanto:
Resposta
A taxa de aumento do volume do balão é
, aproximadamente
.