Quando é visto de um sistema inercial S, um evento ocorre no ponto A sôbre o eixo x, e então, 10^{-6} seg. mais tarde um evento ocorre no ponto B, mais longe no eixo x. A e B estão separados de 600 m quando visto de S. sôbre o eixo x, e então, 10^{-6} seg. mais tarde um evento ocorre no ponto B, mais longe no eixo x. A e B estão separados de 600 m quando visto de S. (a) Existe um outro sistema inercial S^{\prime}, movendo-se com uma velocidade menor do que c paralela ao eixo x, tal que os dois eventos pareçam simultâneos, vistos de S^{\prime} ? Se assim fôr, qual é o módulo e a direção da velocidade de S^{\prime} com relação a S ? Qual é a separação dos eventos A e B de acôrdo com S^{\prime \prime} ? (b) Repita a parte a para o caso em que A e B estão separados sòmente de 100 m , quando vistos de S.
13. Qual é o intervalo de tempo próprio entre a ocorrência de dois eventos: (a) se em algum sistema inercial os eventos estão separados de 10^{9} \mathrm{~m} e ocorrem com 5 seg de diferença? (b) Se . . . 7,5 \times 10^{8} \mathrm{~m} e ocorrem com 2,5 \mathrm{seg} de diferença? (c) Se … 5 \times 10^{8} \mathrm{~m} e ocorrem com 1,5 seg. de diferença?

Passo 1

O enunciado trata de dois tópicos de Relatividade Especial.
  1. Temos dois eventos A e B ocorrendo no eixo x de um referencial S, separados em espaço por \Delta x e em tempo por \Delta t=10^{-6}\,\mathrm{s}.
    (a) Para \Delta x=600\,\mathrm{m}, perguntar se existe um referencial S' movendo-se com v<c paralelo ao eixo x em que os dois eventos sejam simultâneos ( \Delta t'=0), e, em caso afirmativo, achar v e a separação espacial \Delta x'.
    (b) Repetir para \Delta x=100\,\mathrm{m}.
    Aqui vamos usar as transformações de Lorentz para diferenças de tempo e espaço: \Delta t'=\gamma\bigl(\Delta t-\tfrac{v\,\Delta x}{c^2}\bigr),\qquad \Delta x'=\gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr),com \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}.
  2. Depois, em outra questão, pede-se o tempo próprio \tau entre dois eventos dados \Delta x e \Delta t. O intervalo de tempo próprio é definido (para intervalo “temporal”, isto é, c^2\Delta t^2-\Delta x^2>0) por \tau = \sqrt{\Delta t^2 - \bigl(\tfrac{\Delta x}{c}\bigr)^2}.Se c^2\Delta t^2-\Delta x^2=0, temos \tau=0 (intervalo nulo) e se c^2\Delta t^2-\Delta x^2<0, não existe \tau real (intervalo espaço-como).

Passo 2

Para que em S' os eventos sejam simultâneos basta impor \Delta t'=0. Da transformação de Lorentz para o tempo:
\Delta t'=\gamma\bigl(\Delta t-\tfrac{v\,\Delta x}{c^2}\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{c^2\,\Delta t}{\Delta x}.

Passo 3

Caso (a): \Delta x=600\,\mathrm{m} e \Delta t=10^{-6}\,\mathrm{s}.
Calculamos
v = \frac{(3\times10^{8}\,\mathrm{m/s})^2\cdot 10^{-6}\,\mathrm{s}}{600\,\mathrm{m}} = \frac{9\times10^{16}\cdot10^{-6}}{600} =1{,}5\times10^{8}\,\mathrm{m/s} =0{,}5\,c,
que é menor que c, logo existe S'.
O fator de Lorentz vale
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}5^2}} =1{,}155.

Passo 4

Ainda no caso (a), a separação espacial em S' é
\Delta x' = \gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr) =1{,}155\bigl(600 - (1{,}5\times10^{8}\times10^{-6})\bigr) =1{,}155\,(600 -150) =1{,}155\times450 \approx 520\,\mathrm{m}.

Passo 5

Caso (b): \Delta x=100\,\mathrm{m}, \Delta t=10^{-6}\,\mathrm{s}.
v = \frac{c^2\,\Delta t}{\Delta x} = \frac{9\times10^{16}\cdot10^{-6}}{100} =9\times10^{8}\,\mathrm{m/s} =3\,c,
o que excede c. Portanto não existe referencial S' com v<c que faça \Delta t'=0.

Passo 6

Para o tempo próprio \tau usamos o sinal do intervalo
\Delta s^2 = c^2\,\Delta t^2 - \Delta x^2.
Se \Delta s^2>0 (intervalo temporal),
\tau = \sqrt{\Delta t^2 - \bigl(\tfrac{\Delta x}{c}\bigr)^2}.
Se \Delta s^2=0, então \tau=0. Se \Delta s^2<0, não há \tau real porque não há referencial onde os dois eventos ocorram no mesmo lugar.

Passo 7

(13a) \Delta x=10^{9}\,\mathrm{m}, \Delta t=5\,\mathrm{s}.
\frac{\Delta x}{c}=\frac{10^{9}}{3\times10^{8}}=3{,}333\,\mathrm{s}, \quad \tau = \sqrt{5^2 - 3{,}333^2} = \sqrt{25 - 11{,}111} = \sqrt{13{,}889} \approx 3{,}73\,\mathrm{s}.

Passo 8

(13b) \Delta x=7{,}5\times10^{8}\,\mathrm{m}, \Delta t=2{,}5\,\mathrm{s}.
\frac{\Delta x}{c}=\frac{7{,}5\times10^{8}}{3\times10^{8}}=2{,}5\,\mathrm{s} \;\Longrightarrow\;\Delta s^2=0 \;\Longrightarrow\;\tau=0.

Passo 9

(13c) \Delta x=5\times10^{8}\,\mathrm{m}, \Delta t=1{,}5\,\mathrm{s}.
\frac{\Delta x}{c}=\frac{5\times10^{8}}{3\times10^{8}}\approx1{,}667\,\mathrm{s} \;\Longrightarrow\;\Delta t<\tfrac{\Delta x}{c} \;\Longrightarrow\;\Delta s^2<0
é um intervalo espacial, logo não existe \tau real.

Resposta

12(a) Sim. v=1{,}5\times10^{8}\,\mathrm{m/s} no sentido positivo de x ( 0{,}5c); \Delta x'\approx520\,\mathrm{m}.
12(b) Não existe referencial S' com v<c que faça os eventos simultâneos.
13(a) \tau\approx3{,}73\,\mathrm{s}.
13(b) \tau=0.
13(c) Intervalo espaço-como ( \Delta s^2<0), não há tempo próprio real.

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