Um marciano sai de Marte em uma espaçonave que está se dirigindo para Vênus. No caminho, a espaçonave passa pela Terra com uma velocidade v=0,80 c em relação a ela. Suponha que os três planetas não se movam uns em relação aos outros durante a viagem. A distância entre Marte e Vênus é de 1,20 \times 10^{11} \mathrm{~m}, quando medida por uma pessoa na Terra. (a) Qual a distância entre Marte e Vênus medida pelo marciano? (b) Qual o tempo de viagem (em segundos) quando medido pelo marciano?

Passo 1

O enunciado descreve um marciano que viaja de Marte a Vênus numa espaçonave passando pela Terra com velocidade v = 0{,}80\,c medida em relação à Terra. A distância entre Marte e Vênus, medida em repouso pelo referencial da Terra (e dos planetas), é
L_{0} = 1{,}20\times 10^{11}\,\mathrm{m}.
O conteúdo requerido envolve relatividade especial: contração de comprimentos e tempo próprio de viagem.

Passo 2

Para o marciano, a distância entre os planetas aparece contratada segundo
L = \frac{L_{0}}{\gamma},
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}} \quad\text{e}\quad \beta = \frac{v}{c} = 0{,}80.
Logo
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}80)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}64}} = \frac{1}{0{,}60} = 1{,}6667.
Portanto
L = \frac{1{,}20\times 10^{11}\,\mathrm{m}}{1{,}6667} = 7{,}20\times 10^{10}\,\mathrm{m}.

Passo 3

O tempo de viagem medido pelo marciano é o seu tempo próprio
\Delta \tau = \frac{L}{v}.
Substituindo L = 7{,}20\times 10^{10}\,\mathrm{m} e v = 0{,}80\,c = 0{,}80\times 3{,}0\times 10^{8}\,\mathrm{m/s} = 2{,}4\times 10^{8}\,\mathrm{m/s}, obtemos
\Delta \tau = \frac{7{,}20\times 10^{10}}{2{,}4\times 10^{8}} = 300\,\mathrm{s}.

Resposta

(a) L = 7{,}20\times 10^{10}\,\mathrm{m}.
(b) \Delta \tau = 300\,\mathrm{s}.

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