Observação: Antes de fazer qualquer cálculo envolvendo dilatação do tempo ou contração do comprimento, é útil identificar qual observador mede o intervalo de tempo apropriado
\Delta t_{0} ou o comprimento apropriado L_{0}.
*6. Uma espaçonave viaja a uma velocidade constante da Terra até um planeta orbitando outra estrela. Quando a espaçonave chega, 12 anos se passaram na Terra, e 9,2 anos se passaram a bordo da espaçonave. A que distância (em metros) está o planeta, de acordo com observadores na Terra?

Passo 1

O enunciado diz que uma espaçonave parte da Terra e, quando chega ao planeta, cronômetros na Terra marcam um intervalo de tempo \Delta t = 12 anos, enquanto o relógio a bordo registra o tempo próprio \Delta t_{0} = 9,2 anos. O conteúdo aqui é dilatação do tempo na Relatividade Restrita. Para achar a distância L medida pelos observadores da Terra, vamos:
  1. usar a relação de dilatação de tempo para obter a velocidade v da espaçonave em função de c;
  2. calcular L = v\,\Delta t;
  3. converter tudo para metros.

Passo 2

A relação de dilatação do tempo é
\Delta t_{0} \;=\;\Delta t\,\sqrt{1-\beta^{2}},
onde \beta = v/c. Isolando \beta, temos
\beta \;=\;\sqrt{1-\bigl(\tfrac{\Delta t_{0}}{\Delta t}\bigr)^{2}} =\sqrt{1-\bigl(\tfrac{9{,}2}{12}\bigr)^{2}}.
Numericamente,
\beta =\sqrt{1-\bigl(0{,}7667\bigr)^{2}} =\sqrt{1-0{,}588} =\sqrt{0{,}412} \approx 0{,}642.

Passo 3

Agora obtemos a velocidade em função de c:
v = \beta\,c \approx 0{,}642\,c.

Passo 4

A distância L medida na Terra é
L = v\,\Delta t = \beta\,c\,\Delta t.
Convertemos \Delta t = 12 anos para segundos usando
1\text{ ano}\approx 365\times24\times3600 = 3{,}156\times10^{7}\,\text{s},
então
\Delta t = 12\times3{,}156\times10^{7}\,\text{s} \approx 3{,}7872\times10^{8}\,\text{s}.
Logo,
L \approx 0{,}642\times(3,00\times10^{8}\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}})\times 3{,}7872\times10^{8}\,\text{s} \approx 7{,}3\times10^{16}\,\text{m}.

Resposta

A distância do planeta, segundo observadores na Terra, é aproximadamente
7{,}3\times10^{16}\,\text{m}.

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