Observação: Antes de fazer qualquer cálculo envolvendo dilatação do tempo ou contração do comprimento, é útil identificar qual observador mede o intervalo de tempo apropriado
\Delta t_{0} ou o comprimento apropriado L_{0}.
Uma antena de radar está girando e completa uma volta a cada 25 s , quando medido na Terra. No entanto, instrumentos em uma espaçonave que está se movendo em relação à Terra com velocidade v mede que a antena completa uma volta a cada 42 s . Qual o quociente v / c entre a velocidade v e a velocidade c de propagação da luz no vácuo?

Passo 1

O enunciado diz que uma antena gira completando uma volta em \Delta t_{0}=25 s no referencial da Terra, enquanto que em uma espaçonave em movimento relativo à Terra com velocidade v ela completa a volta em \Delta t=42 s. O conteúdo é dilatação do tempo na relatividade especial.

Passo 2

Na dilatação do tempo, o intervalo próprio \Delta t_{0} é medido no referencial em que o relógio (a antena) está em repouso. Aqui a Terra mede o período próprio \Delta t_{0}=25 s, e a espaçonave mede o tempo dilatado \Delta t=42 s.

Passo 3

A relação de dilatação do tempo é
\Delta t = \gamma\,\Delta t_{0},
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}\,.

Passo 4

Substituindo os valores dados:
42 = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}\;25 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{25}{42}\,.
Logo
\frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 - \Bigl(\tfrac{25}{42}\Bigr)^{2} = 1 - \frac{625}{1764} = \frac{1139}{1764}\,.

Passo 5

Portanto,
\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{1139}{1764}} \approx 0{,}804.

Resposta

\displaystyle \frac{v}{c}\approx0{,}804

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