(a) Mostre que a função
é uma solução para a equação de onda.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a função
é uma solução para a equação de onda. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.
Passo 2
A equação de onda que vamos usar é:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada da função
em relação ao tempo
e a segunda derivada em relação ao espaço
.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Primeira derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a
Segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na equação de onda:
Simplificando:
Como os dois lados da equação são iguais, a função satisfaz a equação de onda.
Resposta
A função
é uma solução válida para a equação de onda.