(a) Mostre que a função é uma solução para a equação de onda.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a função é uma solução para a equação de onda. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais.

Passo 2

A equação de onda que vamos usar é:
Isso significa que precisamos calcular a segunda derivada da função em relação ao tempo e a segunda derivada em relação ao espaço .

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 5

Substituindo as derivadas na equação de onda:
Simplificando:
Como os dois lados da equação são iguais, a função satisfaz a equação de onda.

Resposta

A função é uma solução válida para a equação de onda.

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