Uma onda em uma corda é descrita pela função de onda
sen
, onde
e
estão dados em metros
segundos. (a) Mostre que um elemento da corda
executa um movimento harmônico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a função de onda de uma corda, que é , onde
e
estão em metros e
em segundos. A pergunta quer que a gente mostre que um ponto específico da corda, no
m, está fazendo um movimento harmônico. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de onda e o que caracteriza um movimento harmônico.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
m na função de onda para ver como a posição
desse ponto varia com o tempo. A função fica:
Passo 3
Calculando o termo dentro do seno:
Então, a função fica:
Passo 4
Podemos reescrever a expressão dentro do seno para facilitar a análise:
Como o seno é uma função ímpar, , mas isso não altera a natureza harmônica do movimento. Então, simplificando:
Passo 5
Agora, observamos que a posição
depende apenas do tempo
e está descrita por uma fun��ão seno com amplitude
m e frequência angular
rad/s. Isso caracteriza um movimento harmônico simples, onde a posição varia sinusoidalmente com o tempo.
Resposta
Portanto, mostramos que o ponto da corda em
m executa um movimento harmônico com amplitude de
m e frequência angular de
rad/s.