15.12 Obtenha uma expressão para o duplo produto vetorial
\vec{A} \times(\vec{B} \times \vec{C})
em termos dos tensores de Levi-Civita.

Passo 1

Resumindo, queremos expressar o vetor
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})
usando componentes e o tensor de Levi–Civita \varepsilon_{ijk}. Para isso vamos precisar também da identidade
\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon_{k l m} =\delta_{i l}\,\delta_{j m}-\delta_{i m}\,\delta_{j l}\,,
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.

Passo 2

Em componentes, o produto \vec{B}\times\vec{C} tem
(\vec{B}\times\vec{C})_{k} =\varepsilon_{k l m}\,B_{l}\,C_{m}.
Logo
(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}))_{i} =\varepsilon_{i j k}\,A_{j}\,(\vec{B}\times\vec{C})_{k} =\varepsilon_{i j k}\,A_{j}\,\varepsilon_{k l m}\,B_{l}\,C_{m}.

Passo 3

Aplicamos a identidade de contração dos dois \varepsilon:
\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon_{k l m} =\delta_{i l}\,\delta_{j m}-\delta_{i m}\,\delta_{j l}.
Substituindo em (\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}))_{i}
(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}))_{i} =(\delta_{i l}\,\delta_{j m}-\delta_{i m}\,\delta_{j l}) \,A_{j}\,B_{l}\,C_{m}.

Passo 4

Simplificando com os deltas temos duas parcelas:
\delta_{i l}\,\delta_{j m}\,A_{j}\,B_{l}\,C_{m} =B_{i}\,(A_{j}\,C_{j}) \quad\text{e}\quad \delta_{i m}\,\delta_{j l}\,A_{j}\,B_{l}\,C_{m} =C_{i}\,(A_{j}\,B_{j}).
Logo
(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}))_{i} = B_{i}\,(A_{j}\,C_{j}) \;-\; C_{i}\,(A_{j}\,B_{j})
ou seja
(\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}))_{i} = B_{i}\,(\vec{A}\cdot\vec{C}) - C_{i}\,(\vec{A}\cdot\vec{B}).

Passo 5

Reescrevendo em forma vetorial, obtemos a conhecida identidade do triplo produto vetorial:
\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) =\vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C}) -\vec{C}\,(\vec{A}\cdot\vec{B}).

Resposta

\boxed{\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) =\vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C}) -\vec{C}\,(\vec{A}\cdot\vec{B})}.

Exercícios de Livros Relacionados