15.12 Obtenha uma expressão para o duplo produto vetorial
em termos dos tensores de Levi-Civita.
Passo 1
Resumindo, queremos expressar o vetor
usando componentes e o tensor de Levi–Civita
. Para isso vamos precisar também da identidade
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 2
Em componentes, o produto
tem
Logo
Passo 3
Aplicamos a identidade de contração dos dois
:
Substituindo em
dá
Passo 4
Simplificando com os deltas temos duas parcelas:
Logo
ou seja
Passo 5
Reescrevendo em forma vetorial, obtemos a conhecida identidade do triplo produto vetorial: