Offoroncio { }_{38}^{90} \mathrm{Sr} tem uma meia-vida de 29,1 anos. Ele é quimicamente semelhante ao cálcio, entra no corpo pela cadeia alimentar e se acumula nos ossos. Consequentemente, o { }_{38}^{90} \mathrm{Sr} é uma ameaça particularmente séria à saúde humana. Quantos anos serão necessários para que 99,9900 \% do { }_{38}^{90} \mathrm{Sr} liberado em um acidente de reator nuclear desapareçam?

Passo 1

O enunciado diz que o isótopo {}_{38}^{90}\mathrm{Sr} tem meia-vida T_{1/2}=29,1 anos e pergunta em quantos anos 99,9900\% do material terá decaído. Vamos usar a lei do decaimento radioativo, que descreve o número de núcleos remanescentes em função do tempo.

Passo 2

A lei do decaimento é
N(t)=N_0\,2^{-t/T_{1/2}}
Para que 99,9900\% decaiam, resta
1 - 0,999900 = 0,000100
do material. Assim, definimos
\frac{N(t)}{N_0}=0,000100=2^{-t/T_{1/2}}.

Passo 3

Tomando logaritmo natural em ambos os lados e isolando t, obtemos
\ln(0,000100)=-\frac{t}{T_{1/2}}\ln(2)
t = T_{1/2}\,\frac{\ln(0,000100)}{-\ln(2)}
ou equivalentemente
t = T_{1/2}\,\frac{\ln(0,000100)}{\ln(\tfrac12)}.

Passo 4

Substituindo T_{1/2}=29,1 anos,
\ln(0,000100)\approx -9,21034,\qquad \ln(\tfrac12)\approx -0,693147
t \approx 29,1\times\frac{-9,21034}{-0,693147}\approx 386,9
anos. Arredondando, dá cerca de 387 anos.

Resposta

Cerca de 387 anos.

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