Uma partícula se encontra em repouso sobre uma mesa, que pode girar livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo centro de massa da mesa. A distância da partícula ao centro da mesa é dada por
. O coeficiente de atrito estático entre a mesa e o corpo é dado por
. Calcule a menor velocidade angular de rotação da mesa acima da qual a partícula será centrifugada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula parada sobre uma mesa que pode girar em torno de um eixo vertical no centro. A distância da partícula ao centro é de
. O coeficiente de atrito estático entre a mesa e a partícula é
. Queremos descobrir qual é a menor velocidade angular de rotação da mesa que fará com que a partícula seja lançada para fora, ou seja, centrifugada.
Vamos precisar dos conceitos de força centrípeta e força de atrito estático para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a partícula não escorregar, a força de atrito estático (
) deve ser igual ou maior que a força centrípeta (
) necessária para mantê-la em movimento circular.
A força centrípeta é dada por:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade angular, -
é o raio da trajetória.
A força de atrito estático máxima é:
Onde:
-
é o coeficiente de atrito estático, -
é a aceleração da gravidade ( ).
Passo 3
Para que a partícula comece a ser centrifugada, a força centrípeta precisa ser maior que a força de atrito estático:
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
(massa), já que ela aparece nos dois lados:
Passo 4
Queremos encontrar a menor velocidade angular
que satisfaça essa condição, ou seja, o ponto em que as duas forças são iguais:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
Então:
Resposta
A menor velocidade angular de rotação da mesa acima da qual a partícula será centrifugada é aproximadamente
.