Uma partícula se encontra em repouso sobre uma mesa, que pode girar livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo centro de massa da mesa. A distância da partícula ao centro da mesa é dada por . O coeficiente de atrito estático entre a mesa e o corpo é dado por . Calcule a menor velocidade angular de rotação da mesa acima da qual a partícula será centrifugada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula parada sobre uma mesa que pode girar em torno de um eixo vertical no centro. A distância da partícula ao centro é de . O coeficiente de atrito estático entre a mesa e a partícula é . Queremos descobrir qual é a menor velocidade angular de rotação da mesa que fará com que a partícula seja lançada para fora, ou seja, centrifugada.
Vamos precisar dos conceitos de força centrípeta e força de atrito estático para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a partícula não escorregar, a força de atrito estático ( ) deve ser igual ou maior que a força centrípeta ( ) necessária para mantê-la em movimento circular.
A força centrípeta é dada por:
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade angular,
  • é o raio da trajetória.
A força de atrito estático máxima é:
Onde:
  • é o coeficiente de atrito estático,
  • é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

Para que a partícula comece a ser centrifugada, a força centrípeta precisa ser maior que a força de atrito estático:
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (massa), já que ela aparece nos dois lados:

Passo 4

Queremos encontrar a menor velocidade angular que satisfaça essa condição, ou seja, o ponto em que as duas forças são iguais:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores numéricos na equação:
Então:

Resposta

A menor velocidade angular de rotação da mesa acima da qual a partícula será centrifugada é aproximadamente .

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