Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que
e
são constantes reais positivas.
(d) Discuta os casos limites (
muito grande
muito pequeno).
(d) Discuta os casos limites (
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda inicial para uma partícula livre:
. Aqui,
e
são constantes positivas. O conteúdo que vamos usar envolve mecânica quântica, especificamente funções de onda e como elas se comportam em diferentes condições. Nosso objetivo é discutir o que acontece com essa função de onda quando
é muito grande ou muito pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
representa na função de onda. O termo
indica como a amplitude da função de onda decai à medida que nos afastamos de
. Quanto maior for
, mais rápido a função decai, e quanto menor for
, mais lenta é essa decadência.
Passo 3
Vamos analisar o caso quando
é muito grande. Se
for gigante, o termo
vai decair bem rápido quando
se afasta de zero. Isso significa que a função de onda estará bem concentrada perto de
, praticamente zero para
diferente de zero. Na mecânica quântica, isso implica que a partícula está muito bem localizada no ponto
com uma grande incerteza no momento (
alta), de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.
Passo 4
Agora, vamos ver o que acontece quando
é muito pequeno. Se
for bem pequeno, o termo
decai mais devagar, o que faz com que a função de onda se espalhe mais pelo espaço. Isso quer dizer que a partícula está menos localizada, ou seja, distribuída em uma região maior de
, resultando em uma incerteza menor no momento (
baixa), novamente pelo princípio da incerteza.
Passo 5
Resumindo,
controla a “largura” da função de onda. Um
grande faz a função de onda ser estreita e bem localizada, enquanto um
pequeno a torna larga e menos localizada. Esses comportamentos refletem a relação entre posição e momento na mecânica quântica.
Resposta
Quando
é muito grande, a função de onda
fica bem concentrada em
, indicando que a partícula está fortemente localizada nesse ponto com alta incerteza no momento. Quando
é muito pequeno, a função de onda se espalha amplamente no espaço, mostrando que a partícula está menos localizada e o momento possui menor incerteza. Em resumo,
controla a localização da partícula e a incerteza no seu momento conforme o princípio da incerteza de Heisenberg.