Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que e são constantes reais positivas.
(d) Discuta os casos limites ( muito grande muito pequeno).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda inicial para uma partícula livre: . Aqui, e são constantes positivas. O conteúdo que vamos usar envolve mecânica quântica, especificamente funções de onda e como elas se comportam em diferentes condições. Nosso objetivo é discutir o que acontece com essa função de onda quando é muito grande ou muito pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa na função de onda. O termo indica como a amplitude da função de onda decai à medida que nos afastamos de . Quanto maior for , mais rápido a função decai, e quanto menor for , mais lenta é essa decadência.

Passo 3

Vamos analisar o caso quando é muito grande. Se for gigante, o termo vai decair bem rápido quando se afasta de zero. Isso significa que a função de onda estará bem concentrada perto de , praticamente zero para diferente de zero. Na mecânica quântica, isso implica que a partícula está muito bem localizada no ponto com uma grande incerteza no momento ( alta), de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 4

Agora, vamos ver o que acontece quando é muito pequeno. Se for bem pequeno, o termo decai mais devagar, o que faz com que a função de onda se espalhe mais pelo espaço. Isso quer dizer que a partícula está menos localizada, ou seja, distribuída em uma região maior de , resultando em uma incerteza menor no momento ( baixa), novamente pelo princípio da incerteza.

Passo 5

Resumindo, controla a “largura” da função de onda. Um grande faz a função de onda ser estreita e bem localizada, enquanto um pequeno a torna larga e menos localizada. Esses comportamentos refletem a relação entre posição e momento na mecânica quântica.

Resposta

Quando é muito grande, a função de onda fica bem concentrada em , indicando que a partícula está fortemente localizada nesse ponto com alta incerteza no momento. Quando é muito pequeno, a função de onda se espalha amplamente no espaço, mostrando que a partícula está menos localizada e o momento possui menor incerteza. Em resumo, controla a localização da partícula e a incerteza no seu momento conforme o princípio da incerteza de Heisenberg.

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