No estado fundamental do oscilador harmônico, qual é a probabilidade (correta para três algarismos significativos) de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida? Dica: classicamente, a energia de um oscilador é
, enquanto
é a amplitude. Assim, a ‘região permitida classicamente’ para um oscilador de energia
estende-se de
para
. Procure o valor numérico da integral em uma tabela matemática, em ‘Distribuição normal’ ou ‘Função erro’.
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício sobre o oscilador harmônico no estado fundamental. A questão pede para calcular a probabilidade de encontrar a partícula fora da região que seria permitida na física clássica. Para isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica quântica, especificamente sobre o oscilador harmônico, e usar funções matemáticas como a função erro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, no estado fundamental, a energia do oscilador harmônico é dada por:
Aqui,
é a amplitude,
é a constante elástica,
é a massa da partícula e
é a frequência angular.
Passo 3
Na física clássica, a região permitida para a partícula vai de
até
. Queremos encontrar a probabilidade de a partícula estar fora dessa região no contexto quântico.
Passo 4
No estado fundamental quântico, a função de onda
do oscilador harmônico é uma função gaussiana:
A probabilidade de encontrar a partícula em uma região específica é dada pelo quadrado do módulo da função de onda:
Passo 5
Queremos calcular a probabilidade de estar fora da região
. Vamos chamar esse limite de
:
Substituindo a expressão para
:
Então,
.
Passo 6
A probabilidade de estar fora dessa região é:
Passo 7
Vamos simplificar a integral usando a substituição
, o que nos dá:
Essa integral é relacionada à função erro complementária,
, que é definida como:
Passo 8
Assim, podemos escrever:
Passo 9
Para calcular numericamente, precisamos substituir os valores conhecidos. No estado fundamental, a amplitude
relaciona-se com a largura da função de onda. Após os cálculos, obtemos que a probabilidade de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida é aproximadamente:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida é aproximadamente 0,317.