No estado fundamental do oscilador harmônico, qual é a probabilidade (correta para três algarismos significativos) de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida? Dica: classicamente, a energia de um oscilador é , enquanto é a amplitude. Assim, a ‘região permitida classicamente’ para um oscilador de energia estende-se de para . Procure o valor numérico da integral em uma tabela matemática, em ‘Distribuição normal’ ou ‘Função erro’.

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício sobre o oscilador harmônico no estado fundamental. A questão pede para calcular a probabilidade de encontrar a partícula fora da região que seria permitida na física clássica. Para isso, vamos precisar entender um pouco de mecânica quântica, especificamente sobre o oscilador harmônico, e usar funções matemáticas como a função erro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, no estado fundamental, a energia do oscilador harmônico é dada por:
Aqui, é a amplitude, é a constante elástica, é a massa da partícula e é a frequência angular.

Passo 3

Na física clássica, a região permitida para a partícula vai de até . Queremos encontrar a probabilidade de a partícula estar fora dessa região no contexto quântico.

Passo 4

No estado fundamental quântico, a função de onda do oscilador harmônico é uma função gaussiana:
A probabilidade de encontrar a partícula em uma região específica é dada pelo quadrado do módulo da função de onda:

Passo 5

Queremos calcular a probabilidade de estar fora da região . Vamos chamar esse limite de :
Substituindo a expressão para :
Então, .

Passo 6

A probabilidade de estar fora dessa região é:

Passo 7

Vamos simplificar a integral usando a substituição , o que nos dá:
Essa integral é relacionada à função erro complementária, , que é definida como:

Passo 8

Assim, podemos escrever:

Passo 9

Para calcular numericamente, precisamos substituir os valores conhecidos. No estado fundamental, a amplitude relaciona-se com a largura da função de onda. Após os cálculos, obtemos que a probabilidade de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida é aproximadamente:

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula fora da região classicamente permitida é aproximadamente 0,317.

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