Demonstre que
e
são maneiras equivalentes de se escrever a mesma função de
e determine as constantes
e
em termos de
e
, e vice–versa. Comentário: na mecânica quântica, quando
, as exponenciais representam ondas móveis e são mais convenientes na discussão sobre partícula livre, considerando que senos e cossenos correspondem a ondas estacionárias, as quais surgem naturalmente no caso do poço quadrado infinito.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que as expressões
e são formas equivalentes de representar a mesma função de
. Além disso, precisamos descobrir como relacionar as constantes
e
com
e
, e vice-versa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e trigonometria, especialmente a fórmula de Euler, que conecta exponenciais com funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que diz que:
E também:
Essas fórmulas nos permitem expressar exponenciais complexas em termos de cossenos e senos.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula de Euler à expressão
:
Passo 4
Agora, vamos distribuir as constantes
e
:
Passo 5
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Queremos comparar essa expressão com . Para que as duas expressões sejam equivalentes, os coeficientes das funções trigonométricas devem ser iguais. Além disso, como estamos lidando com funções reais, a parte imaginária deve ser nula. Portanto, temos:
e
Passo 7
Agora, vamos expressar
e
em termos de
e
. A partir das equações anteriores:
Vamos resolver o sistema de equações para
e
.
Passo 8
Somando as equações (1) e (2):
Então:
Simplificando
:
Passo 9
Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Então:
Simplificando
:
Resposta
As expressões
e são equivalentes se:
E, inversamente, as constantes
e
em termos de
e
são: