Demonstre que e são maneiras equivalentes de se escrever a mesma função de e determine as constantes e em termos de e , e vice–versa. Comentário: na mecânica quântica, quando , as exponenciais representam ondas móveis e são mais convenientes na discussão sobre partícula livre, considerando que senos e cossenos correspondem a ondas estacionárias, as quais surgem naturalmente no caso do poço quadrado infinito.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que as expressões e são formas equivalentes de representar a mesma função de . Além disso, precisamos descobrir como relacionar as constantes e com e , e vice-versa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e trigonometria, especialmente a fórmula de Euler, que conecta exponenciais com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Euler, que diz que:
E também:
Essas fórmulas nos permitem expressar exponenciais complexas em termos de cossenos e senos.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula de Euler à expressão :

Passo 4

Agora, vamos distribuir as constantes e :

Passo 5

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Queremos comparar essa expressão com . Para que as duas expressões sejam equivalentes, os coeficientes das funções trigonométricas devem ser iguais. Além disso, como estamos lidando com funções reais, a parte imaginária deve ser nula. Portanto, temos:
e

Passo 7

Agora, vamos expressar e em termos de e . A partir das equações anteriores:
Vamos resolver o sistema de equações para e .

Passo 8

Somando as equações (1) e (2):
Então:
Simplificando :

Passo 9

Subtraindo a equação (2) da equação (1):
Então:
Simplificando :

Resposta

As expressões e são equivalentes se:
E, inversamente, as constantes e em termos de e são:

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