Uma partícula de parte da origem no tempo zero. Sua velocidade em função do tempo é dada por
onde está dado em metros por segundo e em segundos. (b) Descreva seu movimento qualitativamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula de 5 kg que começa na origem (ponto (0,0)) no tempo zero. A velocidade dela depende do tempo e é dada pela função vetorial:
Isso significa que a velocidade na direção x é metros por segundo e na direção y é metros por segundo. Vamos precisar entender como essa velocidade muda com o tempo para descrever como a partícula se move.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da velocidade separadamente para entender como a partícula se comporta nas direções x e y.
  • Componente x:
    Isso mostra que a velocidade na direção x aumenta com o quadrado do tempo. Ou seja, quanto mais tempo passa, mais rápido a partícula se move para a direita.
  • Componente y:
    Aqui, a velocidade na direção y aumenta linearmente com o tempo. A partícula está se movendo para cima, e sua velocidade nessa direção aumenta de forma constante.

Passo 3

Agora, vamos pensar na aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Podemos encontrar a aceleração derivando a velocidade em relação ao tempo.
  • Aceleração x:
  • Aceleração y:
Isso significa que a aceleração na direção x também aumenta com o tempo, enquanto na direção y ela é constante.

Passo 4

Com essas informações, vamos descrever o movimento:
  • Na direção x, como a velocidade aumenta com e a aceleração aumenta com , a partícula está acelerando rapidamente para a direita conforme o tempo passa.
  • Na direção y, a velocidade aumenta de forma linear com o tempo e a aceleração é constante. Isso indica que a partícula está subindo com uma aceleração constante.

Passo 5

Juntando as duas direções, a partícula está se movendo para cima e para a direita, com a velocidade na direção x aumentando mais rapidamente do que na direção y. Isso faz com que a trajetória da partícula seja uma curva que se estende cada vez mais para a direita e para cima à medida que o tempo avança.

Resposta

A partícula se move para a direita e para cima, acelerando cada vez mais na direção horizontal e subindo com aceleração constante, resultando em uma trajetória curva que se dirige progressivamente para a direita e para cima conforme o tempo passa.

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