Uma partícula sai da origem com velocidade se move no plano com aceleraçāo variável dada por , onde é dado em metros por segundo ao quadrado e em segundos. (b) Determine a posição da partícula como funçāo do tempo.

Passo 1

Então, a gente tem uma partícula que parte da origem com uma velocidade inicial de no instante . Ela se move no plano com uma aceleração variável dada por ². Nosso objetivo aqui é determinar a posição dessa partícula em função do tempo. Vamos usar conceitos de cinemática, mais especificamente a relação entre aceleração, velocidade e posição através da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade , vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Onde é a velocidade inicial.

Passo 3

Substituindo a aceleração dada:
Vamos resolver essa integral. A integral de é:
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, para encontrar a posição , a gente integra a velocidade em relação ao tempo:
Sabendo que a partícula parte da origem, .

Passo 5

Substituindo a velocidade que encontramos:
Vamos resolver essa integral separadamente para cada componente.
Para a componente :
Para a componente :

Passo 6

Assim, a posição da partícula em função do tempo é:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

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