Uma partícula sai da origem com velocidade
se move no plano
com aceleraçāo variável dada por
, onde
é dado em metros por segundo ao quadrado e
em segundos. (b) Determine a posição da partícula como funçāo do tempo.
Passo 1
Então, a gente tem uma partícula que parte da origem com uma velocidade inicial de
no instante
. Ela se move no plano
com uma aceleração variável dada por
. Nosso objetivo aqui é determinar a posição dessa partícula em função do tempo. Vamos usar conceitos de cinemática, mais especificamente a relação entre aceleração, velocidade e posição através da integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a velocidade
, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Onde
é a velocidade inicial.
Passo 3
Substituindo a aceleração dada:
Vamos resolver essa integral. A integral de
é:
Então, a velocidade fica:
Passo 4
Agora, para encontrar a posição
, a gente integra a velocidade em relação ao tempo:
Sabendo que a partícula parte da origem,
.
Passo 5
Substituindo a velocidade que encontramos:
Vamos resolver essa integral separadamente para cada componente.
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 6
Assim, a posição da partícula em função do tempo é:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: