Uma pessoa de massa
está sentada em um banco de uma roda-gigante cujo diâmetro é
. O banco está subindo e passando pela posição
situada a
de circunferência em relação à posição mais baixa possível. Qual é o trabalho realizado pela força de gravidade sobre essa pessoa quando a roda gira as seguintes frações de circunferência: (A)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está pegando aqui. Temos uma pessoa com massa
sentada em um banco de roda-gigante de diâmetro
. Esse banco está subindo e passa por uma posição
que está a um quarto da circunferência a partir da posição mais baixa. A gente quer descobrir qual é o trabalho realizado pela força da gravidade sobre essa pessoa quando a roda gira um quarto de circunferência (ou seja,
da volta).
Aqui, vamos precisar entender alguns conceitos de trabalho em física, especialmente como a gravidade realiza trabalho quando algo é levantado. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do trabalho relacionado à energia potencial gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a roda girar
de circunferência. A circunferência completa de uma roda é dada por
. Então, um quarto disso é:
Mas a gente está mais interessado na variação da altura da pessoa nessa movimentação. Quando a roda gira
de circunferência, a pessoa sobe da posição mais baixa (
) até o meio da lateral da roda. A altura máxima alcançada nesse movimento é igual ao raio da roda, que é:
Então, a variação de altura (
) que a pessoa sofre é igual ao raio da roda:
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força da gravidade. O trabalho (
) realizado por uma força é dado por:
No caso da gravidade, a força é
, onde
é a aceleração da gravidade (
). O deslocamento é a variação da altura
, e o ângulo
entre a força da gravidade e o deslocamento é
(porque a gravidade age para baixo enquanto o deslocamento é para cima). O cosseno de
é
.
Substituindo na fórmula:
A parte negativa indica que o trabalho da gravidade está contra o movimento da pessoa, ou seja, a gravidade está fazendo trabalho negativo ao levantar a pessoa.
Resposta
O trabalho realizado pela força da gravidade é
.