Uma pessoa de massa está sentada em um banco de uma roda-gigante cujo diâmetro é . O banco está subindo e passando pela posição situada a de circunferência em relação à posição mais baixa possível. Qual é o trabalho realizado pela força de gravidade sobre essa pessoa quando a roda gira as seguintes frações de circunferência: (A)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está pegando aqui. Temos uma pessoa com massa sentada em um banco de roda-gigante de diâmetro . Esse banco está subindo e passa por uma posição que está a um quarto da circunferência a partir da posição mais baixa. A gente quer descobrir qual é o trabalho realizado pela força da gravidade sobre essa pessoa quando a roda gira um quarto de circunferência (ou seja, da volta).
Aqui, vamos precisar entender alguns conceitos de trabalho em física, especialmente como a gravidade realiza trabalho quando algo é levantado. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do trabalho relacionado à energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a roda girar de circunferência. A circunferência completa de uma roda é dada por . Então, um quarto disso é:
â
Mas a gente está mais interessado na variação da altura da pessoa nessa movimentação. Quando a roda gira de circunferência, a pessoa sobe da posição mais baixa ( ) até o meio da lateral da roda. A altura máxima alcançada nesse movimento é igual ao raio da roda, que é:
Então, a variação de altura ( ) que a pessoa sofre é igual ao raio da roda:

Passo 3

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força da gravidade. O trabalho ( ) realizado por uma força é dado por:
ç
No caso da gravidade, a força é , onde é a aceleração da gravidade ( ). O deslocamento é a variação da altura , e o ângulo entre a força da gravidade e o deslocamento é (porque a gravidade age para baixo enquanto o deslocamento é para cima). O cosseno de é .
Substituindo na fórmula:
A parte negativa indica que o trabalho da gravidade está contra o movimento da pessoa, ou seja, a gravidade está fazendo trabalho negativo ao levantar a pessoa.

Resposta

O trabalho realizado pela força da gravidade é .

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