Uma pia ao redor de um cano de esgoto tem a forma de um cone circular abrindo para cima, formando um ângulo de com a horizontal em todos os pontos. Um cubo de gelo de é posto para escorregar ao redor do cone sem atrito em um círculo horizontal de raio . (d) O tempo necessário para cada revolução aumenta, diminui ou permanece constante? Se mudar, isto deve-se a qual fator?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. A gente tem uma pia em formato de cone que forma um ângulo de com a horizontal. Um cubo de gelo de está deslizando ao redor desse cone sem atrito em um círculo horizontal de raio . A pergunta é: o tempo necessário para cada revolução do cubo aumenta, diminui ou permanece constante? E, se mudar, por quê?
Para resolver isso, vamos precisar entender movimentos circulares e como a força centrípeta atua nesse sistema. Vamos usar conceitos de física como velocidade angular, período de rotação e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a velocidade do cubo com o período de revolução. O período é o tempo que o cubo leva para completar uma volta no círculo de raio . A relação entre a velocidade linear e o período é dada por:
Aqui, é o comprimento da circunferência.

Passo 3

Agora, vamos considerar as forças atuando no cubo de gelo. Como não há atrito, as únicas forças são a força gravitacional ( ) e a força normal ( ) do cone. Como o cubo está se movendo em um círculo horizontal, a força centrípeta necessária para manter o movimento circular vem da componente horizontal da força normal.
Vamos decompor a força normal em duas componentes: horizontal e vertical. O ângulo do cone com a horizontal é .

Passo 4

Dividindo as duas equações para eliminar :
Simplificando:
Desse modo, podemos isolar a velocidade :

Passo 5

Agora, substituímos na equação do período :
Simplificando a expressão:

Passo 6

Observando a equação final do período , vemos que ele depende da raiz quadrada do raio . Isso significa que, se o raio aumentar, o período aumenta; se o raio diminuir, o período diminui. Portanto, o tempo necessário para cada revolução aumenta com o aumento do raio .

Resposta

O tempo necessário para cada revolução aumenta, pois o período é proporcional à raiz quadrada do raio , fazendo com que aumentos em resultem em aumentos no tempo de revolução.

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