Uma pia ao redor de um cano de esgoto tem a forma de um cone circular abrindo para cima, formando um ângulo de
com a horizontal em todos os pontos. Um cubo de gelo de
é posto para escorregar ao redor do cone sem atrito em um círculo horizontal de raio
. (d) O tempo necessário para cada revolução aumenta, diminui ou permanece constante? Se mudar, isto deve-se a qual fator?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. A gente tem uma pia em formato de cone que forma um ângulo de
com a horizontal. Um cubo de gelo de
está deslizando ao redor desse cone sem atrito em um círculo horizontal de raio
. A pergunta é: o tempo necessário para cada revolução do cubo aumenta, diminui ou permanece constante? E, se mudar, por quê?
Para resolver isso, vamos precisar entender movimentos circulares e como a força centrípeta atua nesse sistema. Vamos usar conceitos de física como velocidade angular, período de rotação e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a velocidade do cubo com o período de revolução. O período
é o tempo que o cubo leva para completar uma volta no círculo de raio
. A relação entre a velocidade linear
e o período
é dada por:
Aqui,
é o comprimento da circunferência.
Passo 3
Agora, vamos considerar as forças atuando no cubo de gelo. Como não há atrito, as únicas forças são a força gravitacional (
) e a força normal (
) do cone. Como o cubo está se movendo em um círculo horizontal, a força centrípeta necessária para manter o movimento circular vem da componente horizontal da força normal.
Vamos decompor a força normal em duas componentes: horizontal e vertical. O ângulo do cone com a horizontal é
.
Passo 4
Dividindo as duas equações para eliminar
:
Simplificando:
Desse modo, podemos isolar a velocidade
:
Passo 5
Agora, substituímos
na equação do período
:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Observando a equação final do período
, vemos que ele depende da raiz quadrada do raio
. Isso significa que, se o raio
aumentar, o período
aumenta; se o raio diminuir, o período diminui. Portanto, o tempo necessário para cada revolução aumenta com o aumento do raio
.
Resposta
O tempo necessário para cada revolução aumenta, pois o período
é proporcional à raiz quadrada do raio
, fazendo com que aumentos em
resultem em aumentos no tempo de revolução.