*27. O polônio { }_{84}^{210} \mathrm{Po} (massa atômica =209,982848 \mathrm{u} ) sofre um decaimento \alpha. Supondo que toda a energia liberada esteja na forma de energia cinética da partícula \alpha (massa atômica =4,002603 u) e ignorando o recuo do núcleo-filho (chumbo { }_{82}^{216} \mathrm{~Pb}, com massa atômica = 205, 974440 u), determine a velocidade da partícula \alpha. Ignore efeitos relativísticos.

Passo 1

O enunciado descreve o decaimento \alpha do núcleo {}_{84}^{210}\mathrm{Po} (massa atômica M_i=209,982848 u) em \alpha (massa atômica m_\alpha=4,002603 u) e núcleo-filho {}_{82}^{206}\mathrm{Pb} (massa atômica M_d=205,974440 u). Como estamos ignorando o recuo do núcleo-filho, toda a energia de desintegração Q vai para a energia cinética da partícula \alpha. Vamos usar conservação de energia e a equivalência massa–energia para achar Q e depois a velocidade v pela fórmula clássica K=\tfrac12 m v^2.

Passo 2

Calculamos a diferença de massa (defeito de massa)
\Delta m \;=\; M_i - \bigl(M_d + m_\alpha\bigr).

Passo 3

Substituindo os valores em unidades de u:
\Delta m = 209,982848 - \bigl(205,974440 + 4,002603\bigr) = 209,982848 - 209,977043 = 0,005805\;\text{u}.
A energia liberada Q em MeV é
Q = \Delta m \times 931,494\;\frac{\text{MeV}}{\text{u}} = 0,005805 \times 931,494 \approx 5,41\;\text{MeV}.

Passo 4

Convertendo Q para joules ( 1\;\text{eV}=1,602\times10^{-19} J):
K_\alpha = Q = 5,41\times10^{6}\,\text{eV}\times1,602\times10^{-19}\;\frac{\text{J}}{\text{eV}} \approx 8,66\times10^{-13}\;\text{J}.

Passo 5

Convertendo a massa da partícula \alpha para quilogramas ( 1\;\text{u}=1,660539\times10^{-27} kg):
m_\alpha = 4,002603\;\text{u}\times1,660539\times10^{-27}\;\frac{\text{kg}}{\text{u}} \approx 6,6465\times10^{-27}\;\text{kg}.

Passo 6

Usamos a relação clássica entre energia cinética e velocidade:
K_\alpha = \tfrac12\,m_\alpha\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,K_\alpha}{m_\alpha}}.
Substituindo os valores em SI:
v = \sqrt{\frac{2\times8,66\times10^{-13}}{6,6465\times10^{-27}}} \approx 1,61\times10^{7}\;\text{m/s}.

Resposta

A velocidade da partícula \alpha é aproximadamente
v \approx 1,6\times10^{7}\;\text{m/s}.

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