Um próton move-se com velocidade de módulo na direção paralela a . Um campo magnético de , na direção , atua sobre ele. Que campo elétrico devemos aplicar nessa região para que a força de Lorentz sobre o próton seja nula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um próton que está se movendo com uma certa velocidade e está sujeito a um campo magnético. Precisamos descobrir qual campo elétrico devemos aplicar para que a força total (chamada de força de Lorentz) nesse próton seja zero.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Força de Lorentz: A força total que atua sobre uma carga em movimento em campos elétrico e magnético.
  • Produto vetorial (ou cruzamento de vetores): Uma operação matemática usada para encontrar vetores perpendiculares a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da força de Lorentz. Ela é dada por:
Onde:
  • é a carga do próton,
  • é o campo elétrico,
  • é a velocidade do próton,
  • é o campo magnético,
  • representa o produto vetorial.
Queremos que a força total seja zero. Então, a equação fica:

Passo 3

Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por (já que ):
Isso nos leva a:
Então, para que a força de Lorentz seja zero, o campo elétrico precisa ser igual ao negativo do produto vetorial entre a velocidade e o campo magnético .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Primeiro, precisamos expressar e em termos de seus componentes.
A velocidade do próton é na direção , então:
O campo magnético é na direção , então:

Passo 5

Vamos escrever os vetores de maneira explícita:

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial . A fórmula para o produto vetorial de dois vetores e é:
Vamos aplicar isso aos nossos vetores e :

Passo 7

Substituindo os valores:
Então:
Simplificando:

Passo 8

Agora, lembrando que , vamos inverter os sinais dos componentes que encontramos:

Resposta

O campo elétrico que devemos aplicar para que a força de Lorentz sobre o próton seja nula é:

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