Q|C Uma concha esférica tem raio interno de
e raio externo de
. Ela é feita de material com condutividade térmica
. O interior é mantido à temperatura de
, e o exterior à temperatura de
. Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (e) Encontre a temperatura dentro da concha como uma função do raio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma concha esférica com um raio interno de 3,00 cm e externo de 7,00 cm, feita de um material que conduz calor com condutividade térmica
. O interior está a 5°C e o exterior a 40°C. Queremos encontrar como a temperatura varia dentro da concha em função do raio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações diferenciais em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que, em estado estável, a temperatura não varia mais com o tempo, então a equação de condução de calor se simplifica. Em coordenadas esféricas, para uma situação simétrica, a equação de condução de calor sem geração de calor interno é:
Isso significa que a variação da temperatura depende apenas do raio
.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiramente, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, isolamos
:
Integrando novamente em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Para encontrar
e
, usamos as condições de contorno fornecidas:
- Quando
, . - Quando
, .
Primeiro, convertemos os raios para metros:
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Calculando os valores:
Então:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos em uma das equações para encontrar
. Usando a primeira:
Passo 8
Finalmente, substituímos
e
na expressão da temperatura:
Resposta
A temperatura dentro da concha em função do raio é dada por: