Q|C Uma concha esférica tem raio interno de e raio externo de . Ela é feita de material com condutividade térmica . O interior é mantido à temperatura de , e o exterior à temperatura de . Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (e) Encontre a temperatura dentro da concha como uma função do raio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma concha esférica com um raio interno de 3,00 cm e externo de 7,00 cm, feita de um material que conduz calor com condutividade térmica . O interior está a 5°C e o exterior a 40°C. Queremos encontrar como a temperatura varia dentro da concha em função do raio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equações diferenciais em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, em estado estável, a temperatura não varia mais com o tempo, então a equação de condução de calor se simplifica. Em coordenadas esféricas, para uma situação simétrica, a equação de condução de calor sem geração de calor interno é:
Isso significa que a variação da temperatura depende apenas do raio .

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiramente, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, isolamos :
Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Para encontrar e , usamos as condições de contorno fornecidas:
  1. Quando , .
  2. Quando , .
Primeiro, convertemos os raios para metros:
Aplicando a primeira condição:
Aplicando a segunda condição:

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Simplificando:
Calculando os valores:
Então:

Passo 7

Agora que temos , substituímos em uma das equações para encontrar . Usando a primeira:

Passo 8

Finalmente, substituímos e na expressão da temperatura:

Resposta

A temperatura dentro da concha em função do raio é dada por:

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