Q|C A energia necessária para formar uma esfera uniformemente carregada de carga total Q e raio R é U=3 ke Q^2 / 5 R, onde ke é a constante de Coulomb (consulte o Problema 73). Suponha que um núcleo ^40 Ca contenha 20 prótons distribuídos uniformemente em um volume esférico. (a) Quanta energia é necessária para conter sua repulsão elétrica, de acordo com a equação acima? (b) Calcule a energia de ligação de ^40 Ca. (c) Explique o que você pode concluir ao comparar o resultado da parte (b) com o da parte (a).

Passo 1

O enunciado pede: (a) a energia eletrostática U para montar um núcleo ^40Ca com 20 prótons uniformemente distribuídos em esfera de raio R, usando
U = 3,ke,Q^25,R,,
(b) a energia de ligação total desse núcleo, e (c) interpretar a comparação entre (a) e (b). Para (a) precisamos de Q=20e e do raio nuclear típico R=R0 A^1/3 com R0=1,2 fm e A=40. Para (b) vamos calcular a massa do núcleo, o defeito de massa e converter em energia.

Passo 2

Calculamos Q e R:
Q = 20,e = 20cdot1,602times10^-19,C = 3,204times10^-18,C,
R = 1,2,fmtimes40^1/3 = 1,2times 3,42,fmapprox4,10,fm = 4,10times10^-15,m
Agora aplicamos
U = 35,ke,Q^2R = 35,8,99times10^9,(3,204times10^-18)^24,10times10^-15
Numericamente
ke,Q^2 = 8,99times10^9cdot(3,204times10^-18)^2 approx9,23times10^-26,Jcdot m,
U = 0,6cdot9,23times10^-264,10times10^-15 approx1,35times10^-11,J
Convertendo para MeV ( 1,MeV=1,602times10^-13,J ):
U approx 1,35times10^-111,602times10^-13;MeV approx84,3;MeV

Passo 3

Para achar a energia de ligação usamos o defeito de massa. As massas dos nucleons livres são
20,mp + 20,mn =20cdot1,007276,u + 20cdot1,008665,u =40,31882,u
A massa nuclear é a massa atômica menos a massa dos elétrons:
mnúc<=o =39,962591,u - 20cdot0,0005486,u approx39,951618,u ú
O defeito de massa é
De<a m = 40,31882,u - 39,951618,u = 0,367202,u
Convertendo para energia ( 1,u=931,5;MeV):
B = De<a mcdot931,5;MeV approx0,367202times931,5 approx342,1;MeV

Passo 4

Comparando os valores:
Urepulsão approx84,3;MeV, Bligação approx342,1;MeV ãçã
O fato de B ser muito maior que U mostra que a força nuclear atrativa supera folgadamente a repulsão coulômbica entre prótons, garantindo a estabilidade do núcleo.

Resposta

(a) Uapprox1,35times10^-11,Japprox84,3;MeV
(b) Bapprox342,1;MeV
(c) A energia de ligação excede em muito a energia de repulsão elétrica, indicando que a força nuclear forte domina a repulsão coulômbica e mantém o núcleo estável.

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